Question

初二数学【E是菱形ABCD的边AD的中点， EF⊥AC于H，EF交，CB的延长线于F，交AB于G，求证AB与EF互相平分】

已知，E是菱形ABCD的边AD的中点， EF⊥AC于H，EF交，CB的延长线于F，交AB于G，求证AB与EF互相平分。 要详细过程。

Answer 1

连接BD
因为 ABCD是菱形 所以 AC⊥BD
又 EF⊥AC
所以EF∥BD
E是菱形ABCD的边AD的中点
所以G是AB的中点， 即AG=GB
又角AGE=角BGF
角GAE=角GBF
三角形AEG≌三角形BGF
则FG=EG
AB与EF互相平分

Answer 2

连接BD，∵菱形ABCD
∴AC垂直于BD
又∵AC垂直于EF
∴EF平行于BD
又∵ED平行于BE
∴四边形EDBF为平行四边形
∴ED=BF=AE
又∵∠AEF=∠GFB,∠AGE=∠BGF
∴△AEG全等于△BFG（AAS）
∴AG=BG,EG=FG
即AB，EF互相平分

Answer 3

连接BD，
因为四边形ABCD为菱形，
所以BD⊥AC，
又因为EF⊥AC，
所以EF//BD,
因为在△ABD中
EG//BD且E为AD中点，
所以G为AB中点.
因为BC//AD,所以∠FBG=∠DAG
又因为BG=AG，∠FGB=∠EGA.
所以△AGE全等于△BGF
所以G为AB，EF的中点。
所以AB与EF互相平分

Answer 4

做辅助线：连接BD
因为是菱形，所以BD垂直于AC，又EF垂直于AC，所以
EF//BD
因为E是AD中点，且EF//BD，所以G平分AB，即AB与EF互相平分。

Answer 5

证明：
连接BD。
∵ EF⊥AC
AC⊥BD（菱形对角线垂直）
∴ EG∥BD
∴△AGE∽△ABD
又∵AE：ED=1：2
∴ AG：AB=1：2（相似三角形对应边成等比）
即G为AB中点
过点E做EI∥AB，交CF于点I
则△FBG∽△FIE
∵EI=AB 且 BG：AB=1：2
∴FG：EF=1：2（相似三角形对应边成等比）
即G为EF中点
∴AB与EF互相平分