Question

数学：如图，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交弦AC于点E，FC=FE．

如图，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交弦AC于点E，FC=FE．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，cos∠ECF= 25，求弦AC的长．

Answer 1

同学您好：

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分析：（1）连接OC．欲证FC是⊙O的切线，只需证明FC⊥OC即可；
（2）连接BC．利用（1）中的∠AED=∠FEC=∠ECF、圆周角定理求得BC=AB•cos∠ABC=AB•cos∠ECF=10× 2/5=4；然后在直角三角形ABC中利用勾股定理求得AC的长度即可．

 

（1）证明：连接OC．
∵FC=FE（已知），
∴∠FCE=∠FEC（等边对等角）；
又∵∠AED=∠FEC（对顶角相等），
∴∠FCE=∠AED（等量代换）；
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）；
∴∠FCE+∠OCA=∠AED+∠OAC；
∵DF⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∴∠FCE+∠OCA=90°，即FC⊥OC，
∴FC是⊙O的切线；

 

 

（2）解：连接BC．
∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为5，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），AB=2OA=10，
∴∠A+∠ABC=90°．
∵DF⊥AB，
∴∠A+∠AED=90°，
∴∠A+∠ABC=∠A+∠AED，即∠ABC=∠AED；
由（1）知，∠AED=∠FEC=∠ECF，
∴BC=AB•cos∠ABC=AB•cos∠ECF=10×2/5=4，
∴AC=√﹙AB²-BC²﹚=√﹙10²-4²﹚=2√21

 

 

本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、圆周角定理以及解直角三角形．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

 

 

 

 

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Answer 2

（1）连接OC，∠ACO=∠CAO,∠AED=∠FEC=∠FCE.因为∠CAO+∠AED=90,所以∠ACO+∠ACF=90,所以CF为圆的切线
（2）cos∠ECF=sin∠EAD,cos∠EAD=1-sin∠EAD的平方。
AC=2AO乘cos∠EAD

cos∠ECF= 25写错了吧

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