Question

在三角形ABC中，ABC所对的边分别为abc，且a^2﹢2c^2﹣b^2＝1/2ac。若b＝2，求三角形ABC面积最大是多少

Answer 1

∵b=2,a>0,b>0
∴a^2+c^2-4=1/2ac,(a+c)^2=4,a+c=2,c=2-a,a∈(0,2)
∴S△ABC=1/2acSinB=√15/8 *ac=-√15/8 *a^2+√15/4 *a
∵顶点公式(-b/2a,4ac-b^2/4a)，
∴当a=1时，S△ABCmax=√15/8

Answer 2

题目应该是a^2﹢c^2﹣b^2＝1/2ac，
这样才能满足余弦定理的形式

a^2+c^2-b^2=1/2ac
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
cosB=1/4
[sin(A+C)/2]^2+cos2B
=[sin(90-B/2)]^2+2cosBcosB-1
=[cos(B/2)]^2+2*1/4*1/4-1
=(1+cosB)/2-7/8
=(1+1/4)/2-7/8
=-1/4
cosB=1/4，则sinB=√15/4，
a/sinA=b/sinB=c/sinC
S=1/2*ac*sinB=1/2*(b*sinA/sinB)*(b*sinC/sinB) *sinB
=2sinAsinC/sinB
=[cos(A-C)-cos(A+C)]/sinB
=cos(A-C)/sinB+1
=4√15/15*cos(A-C)+1
当A=C时，S有最大值，即Smax=4√15/15+1