Question

已知向量a,b是两个非零向量，当a+tb的模取得最小值时

已知向量a,b是两个非零向量，当a+tb的模取得最小值时:(1)求t的值;(2)已知a,b共线同向，求证:b垂直于(a+tb)

上面的(1)和(2)不是我想问的、、、我想说(2)里的a,b共线，那么a=λb，a+tb=λb+tb=b(λ+t)那么b不就与a+tb共线了么、、

Answer 1

追问

这题不需要分类讨论好吧、、
| a+tb |^2=（a+tb）²＝a^2+t^2b^2+2ta•b
= b^2 t^2+2ta•b+ a^2
看成关于t的一元二次函数,因为t是实数,
当| a+tb |取得最小值时，实数t =-(a•b)/b^2,
当t＝-(a•b)/b^2,
此时，（a+tb）•b＝a•b+t b^2＝a•b -(a•b)/b^2 *b^2
=a•b-a•b＝0,
所以（a+tb）⊥b。
这样不就证出垂直了么、、我就纠结在这个地方、、

追答

(2)并没有说是在（1）的条件下。

追问

原题是2在1条件下、、我复制的网上的、有点不同、、

追答

现在看来你已经懂了，恭喜你。

追问

、、我是说你证的第二问和我证的第二问为什么不一样、、在1的条件下证2不也能用你的方法么、、？

追答

两个向量既平行又垂直，那么其中至少有一个是零向量。

追问

零向量与任意向量垂直？有这个说法么、

追答

向量a,b垂直的充要条件是ab=0,这就说明零向量与任何向量垂直。当然零向量与任何向量平行。