Question

离散数学判断群的两道选择题，就是元的概念不清，大湿请进，TKS

1.设X=｛1｝，下列代数系统<P(X), U>的陈述正确的是（）
A.∅是幺元 B.1是幺元 C.{1}是幺元 D.没有幺元
PS:请问<P(X), U>得到的集合是什么啊？谢谢。
2.整数集Z上，下列定义的运算能构成一个群的是（）
A.a*b=min{a,b} B.a*b = a+b-1 C.a*b=ab D.a*b=|a-b|
PS:我感觉是A和C里面一个，就是单位元和逆元搞不清是什么，可以是它本身？

Answer 1

1. P(X)是X的幂集, 由X的全体子集组成.
X = {1}, 故P(X) = {∅,{1}}.
∪是P(X)上的一个二元运算.
<P(X),∪>构成一个代数系统(其实是个幺半群).
因为∅∪∅ = ∅, ∅∪{1} = {1}, 可知∅是幺元, A正确, D不正确.
B中1根本不是P(X)中的元素, 不正确.
C中{1}不是幺元, 因为{1}∪∅ = {1} ≠ ∅.

2. A. 没有单位元.
对任意整数x, 总存在整数y > x, 此时x*y = x ≠ y, 即x不是单位.
B. 能构成一个群:
结合律: (a*b)*c = (a+b-1)*c = a+b+c-2 = a*(b+c-1) = a*(b*c).
单位元e = 1: 对任意整数a, a*e = a+1-1 = a, e*a = 1+a-1 = a.
逆元: 对任意整数a, 存在整数b = 2-a, 使得a*b = a+b-1 = 1 = e, b*a = b+a-1 = 1 = e.
C. 不是所有元素都有逆元.
首先有单位元e = 1, 因为对任意整数a, a*e = a = e*a.
但对a = 2, 不存在整数b使a*b = e, 即2没有逆元.
D. 不成立结合律.
例如a = -2, b = 0, c = 1.
(a*b)*c = ||a-b|-c| = 1, 但a*(b*c) = |a-|b-c|| = 3.
或者更容易看出来的是没有单位元.
因为a*b只能得到非负整数, 所以对整数b < 0, 对任意整数a都有a*b ≠ b.

附一下单位元和逆元的概念.
元素e称为单位元若对任意元素a都有a*e = e*a = a.
由结合律可推出单位元若存在则是唯一的.
对一个元素a, 元素b称为a的逆元, 若a*b = b*a = e (e是单位元, 已知是唯一的).
由结合律也可推出一个元素的逆元若存在则是唯一的.
另外还有左(右)单位元和左(右)逆元的概念, 比上述概念弱, 在某些代数系统中可以不唯一.

追问

思路贼清晰，逻辑贼紧密，非常感谢你的雪中送炭啊。哈哈。借此机会请教个小小的疑问：在第一题的条件下，｛1｝属于P(X) 还是 ｛1｝包含于P(X) 呢？∅属于P(X) 还是 ∅包含于P(X) 呢（通常情况下只能说∅是任意集合的子集吧，那岂不是∅又属于P(X)又包含于P(X)吗，好头晕- -）？｛∅｝属于P(X) 还是 ｛∅｝包含于P(X) 呢？∅和｛∅｝有什么区别吗？

追答

P(X)中的元素是X的子集, P(X)是集合的集合.
所以{1}, ∅都是其中元素, 是属于P(X).
同时∅也确实包含于P(X).

因为集合可以由各种对象组成, 这个也没什么奇怪的.
例如Y = {1,{1},{1,{1}}}这样的集合, {1}和{1,{1}}都同时包含并属于Y.

∅和{∅}是不同的.
∅是没有元素的集合, 而{∅}是集合的集合, 并含有一个元素∅.
这里含有元素∅是指∅作为一个元素属于{∅}.
而不是指∅中的元素属于{∅} (虽然"∅中的元素"确实也属于{∅}...).
因此尽管∅中没有任何元素, {∅}仍然是一个有元素的集合.

P(X) = {∅,{1}}.
因为∅属于P(X), 所以{∅}是P(X)的子集, 即包含于P(X).
但是P(X)中只有两个元素∅和{1}, 没有{∅}这个元素.
因此{∅}不属于P(X).

这种逻辑问题确实容易犯晕, 需要多想想.
不过话说回来, 想通了好像也没太大意义.

追问

嘿嘿，谢谢！