Question

已知函数f(x)=lnx+ax+(a+1)/x-1(a属于R）

（1）证明：当a=0时，f（x）大于等于0；
（2）讨论f(x)的单调性

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Answer 1

（1）
a=0
f(x)=lnx+1/x-1,x>0
f'(x)=1/x-1/x²
令f'(x)=0，得到x=1.
x∈(0,1)时，f'(x)<0，f(x)单调递增。
x∈(1,+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递减。

所以f(x)在x=1取得最小值f(1)=0
所以f'(x)≥0成立。
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（2）
f'(x)=1/x+a-(a+1)/x²=[ax²+x-(a+1)]/x²
考虑g(x)=ax²+x-(a+1)
a=0的时候，（1）里面说过了。
a>0的时候，Δ=1+4(a+1)a>0，g(x)=0有正负两个不同解（自己去解吧）。
当x<负数解(舍去)或x>正数解的时候，g(x)>0，f'(x)>0，f(x)递增。
当x∈(0，正数解)时，g(x)<0，f'(x)<0，f(x)递减。
a<0的时候，类似的，可能需要分别考虑Δ等于大于小于0的情况。我就不写了（懒）