Question

已知f(n)=(2n+7)×3^n +9 ,是否存在自然数m,使得对任意n∈N*,都能使m整除f(n)?

已知f(n)=(2n+7)3^n+9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m值是多少？并证明你的结论。

在使用数学归纳法证明时，最后一步我有点疑问：当n=k+1时，可化出来是：
f(k+1)=3f(k)+18×[ 3^(k-1) -1]
为什么“3f(k)能被36整除，18×[ 3^(k-1) -1] 能被36整除，就能得出f(k+1) 就能被36整除？”它俩不是想家的关系吗？？！！

Answer 1

当n=1时，f(n)=f(1)= 9*3+9 = 36
当n>1时，f(k+1) - f(k) = [3(2k+9)-(2k+7)]* 3^k
= 4(k+5)*3^k (可以被36整除）
由于f(1) 和任意相邻项之差都可以被36整除，因此，最大的m是36

因为3^(k-1)肯定是奇数， 3^(k-1) -1则一定是偶数，18×[ 3^(k-1) -1] 当然是36的倍数了。