Question

已知函数fx=(2a+3)lnx+ax^2+1讨论函数单调性。设a<-2/3对任意x1x2属于0到正无穷,fx1-fx2的绝对值大于等...

已知函数fx=(2a+3)lnx+ax^2+1讨论函数单调性。设a<-2/3对任意x1x2属于0到正无穷,fx1-fx2的绝对值大于等于4x1-x2求a的范围

Answer 1

(1)x属于(0,正无穷）。
f(x)'=(a+1)/x+a,
当a>=0时,f(x)'恒大于0, （0,正无穷）上递增；
当a<=-1时，f(x)'恒小于0，（0,正无穷）上递减；
当a在(-1,0)时，x在(0,-(a+1)/a)上递增，(-(a+1)/a,正无穷）递减。
(2)a<-1, f(x)在（0,正无穷）上递减
设x1<x2, 则f(x1)>f(x2)。
f(x1)-f(x2)>4(x2-x1),即(a+1)(lnx1-lnx2)>(4+a)(x2-x1)。
a+1<0, (lnx1-lnx2)/(x2-x1)<(4+a)/(1+a), g(x)=lnx是增函数，左式<0并趋近于0
对任意x1,x2上式都成立，(4+a)/(1+a)>=0, 则a<=-4。