Question

各位，求过程…求函数y=2cosxsin（x+兀/3）-根号3sin^2x+sinxcosx的周期、单调区间及最值。

Answer 1

y=2cosxsin(x＋π/3)－√3sin²x＋sinxcosx
y=2cosxsin(x＋π/3)－2sinx[(√3/2)sinx－(1/2)cosx)]
y=2cosxsin(x＋π/3)＋2sinxcos(x＋π/3)]
y=2sin(2x＋π/3)

函数周期是2π/2=π
最大值是2，最小值是－2
递增区间是：2kπ－π/2≤2x＋π/3≤2kπ＋π/2
即：kπ－5π/12≤x≤kπ＋π/12
增区间是：[kπ－5π/12，kπ＋π/12]，其中k∈Z
递减区间是：2kπ＋π/2≤2x＋π/3≤2kπ＋3π/2
得减区间是：[kπ＋π/12，kπ＋7π/12]，其中k∈Z

Answer 2

解：
y=2cosxsin(x+π/3)-√3sin^2x+sinxcosx
=2cosx(sinx*1/2+cosx*√3/2)-√3sin²x+sinxcosx
=cosxsinx+√3cos²x-√3sin²x+sinxcosx
=2sinxcosx+√3(cosx²-sin²x)
=sin2x+√3cos2x
=2sin(2x+π/3)
（1）周期为T=2π/2=π
（2）
∵sinx在x∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2]上单调递增
令2kπ－π/2≤2x＋π/3≤2kπ＋π/2
解得 kπ－5π/12≤x≤kπ＋π/12
∴sin(2x+π/3)在x∈[kπ-5π/12,kπ+π/12]上单调递增
同理根据sinx在x∈[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]上单调递减，得
sin(2x+π/3)在x∈[kπ+π/12,kπ+7π/12]上单调递减
因此y=2cosxsin(x+π/3)-√3sin^2x+sinxcosx的：
单调递增区间为：[kπ-5π/12,kπ+π/12] （k∈Z）
单调递减区间为：[kπ+π/12,kπ+7π/12] （k∈Z）
（3）
当sin(2x+π/3)=1时,有最大值2
当sin(2x+π/3)=-1时,有最小值-2

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