Question

学过抽象代数的大神请进来一下，小弟一道小问题在线等！！

K是F的有限扩张域,证明有很多但是有限数量的a1,...,an属于K 使得 K=[a 1,...,an]

这个问题用到归纳证明，但是重点该如何归纳呢！！！ 给我一些想法，说明清楚就行，不用给我完整的证明！！！在线等！！！

Answer 1

若K ≠ F, 可取a1∈K\F (在K中而不在F中), 于是域扩张F[a1]/F的次数 > 1.
K/F[a1]的次数 < K/F的次数.
再取a2∈K\F[a1], 类似得到K/F[a1,a2]的次数 < K/F[a1]的次数.
依此类推.
由K/F是有限扩张, 在有限次操作后扩张次数减小为1, 即K = F[a1,a2,...,an].

追问

如果要写完整的证明格式，我该讨论那个数值作为归纳值呢

追答

扩张次数吧.
若K/F是n次扩张, 则存在有限个元素a1, a2,..., am, 使K = F[a1,a2,...,am].
假设对k < n结论成立.
当K/F是n次扩张, 取a1∈K\F, 则K/F[a1]扩张次数 < n, 然后用归纳假设.

追问

那么我这样想的啊，当[K:F]=1的情况很简单，那么如果我归纳到[K:F]=m， m>1 的情况，我该怎么证明呢！这个时候 假设存在有限个元素a1, a2,..., ai, 使K = F[a1,a2,...,ai].那么下一步我要证明如果[K:F]=m+1的情况吗然后说明也存在有限个元素还是怎么样？