Question

如图所示，已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h，

如图所示，已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h，若点p在一边BC上，此时h3=0，则可得结论h1+h2+h3=h如图1
（1）点p在△ABC内(如图2)点p在△ABC外（如图3） 时,上述结论是否还成立?若成立请给予证明;若不成立,h1 h2 h3 与h之间又有怎样的关系?
（2）不用上述信息，请探究其他方法来证明你猜想的结论。

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Answer 1

如图2
过P点做直线ST//BC，交AB于S，交AC于T，交AM于R
因为ST//BC，三角形ABC为等边三角形
所以三角形AST为等边三角形，PF=RM
因为点p在一边上，此时h3=0，则可得结论h1+h2+h3=h
所以AR=PD+PE
因为AM=AR+RM，PF=RM
所以AM=PD+PE+PF
即h1+h2+h3=h

同理可得：图3中 AM=PE+PF-PE，即h1+h2-h3=h

Answer 2

证明：（1）
肯定成立，过P点作BC的平行线，则按照图1，有
h-h3＝h1+h2,
于是有h1+h2+h3=h
(2):
连接PA、PB、PC,则△ABC面积等于△APB、△APC、△BPC面积之和
于是BC*h=AB*h1+AC*h2+BC*h3
因是等边三角形，则AB=AC=BC
故：
BC*h=BC*h1+BC*h2+BC*h3
于是：
h=h1+h2+h3

Answer 3

用添平行线和面积法！