Question

设数列{an}的前n项和为sn,若对于所有的正整数n,都有sn=n(a1+an)\2，证明{an}是等差数列

1. 设数列{an}的前n项和为sn,若对于所有的正整数n,都有sn=n(a1+an)\2，证明{an}是等差数列2.已知函数f(x)=根号x2-25(x<=-5),若a1=1,an=-f^-1(an-1)，用数学归纳法证明，an=根号25n-24

Answer 1

①an+1=Sn+1-Sn
②an=Sn-Sn_1(n≥2)
①-②得
an+1-an=Sn+1+Sn_1-2Sn
=(n+1)(a1+an+1)/2+(n-1)(an+an_1)/2-n(a1+an)
=1/2[(n+1)an+1+(n-1)an_1-2nan]
可得2(an+1-an)=(n+1)an+1+(n-1)an_1-2nan(n≥2)
整理可得2(n-1)an=(n-1)an+1+(n-1)an_1(n≥2)
即2an=an+1+an_1(n≥2)
根据等差数列的特性可知:此数列为等差数列

Answer 2

1.用数学归纳法证明：
1）当n=3时，S3=3(a1+a3)/2
得a1-2a2+a3=0，命题成立；(想一想，为什么初值定为x=3?)
2）假设当n=k时，命题成立，即a1,a2,...,ak是等差数列
设ak=pk+q，则Sk=p/2*k(k+1)+qk=p/2*k^2+(p/2+q)k
则当n=k+1时，
S(k+1)=(k+1)(a1+a(k+1))/2=Sk+a(k+1)
即a(k+1)=[2Sk-(k+1)a1]/(k-1)=[pk^2+(p+2q)k-(k+1)(p+q)]/(k-1)=[pk^2+qk-(p+q)]/(k-1)
=[p(k+1)(k-1)+q(k-1)]/(k-1)=p(k+1)+q
所以a1,a2,...,a(k+1)也是等差数列
2.没看懂题目，修改一下吧