Question

一道数学题，求详解，谢谢

已知A、B、C是△ABC的三个内角，其对应的边分别为a、b、c.设a=2√3，向量m=(-cos A/2，sin A/2)，向量n=(cos A/2，sin A/2)，且向量m乘以向量n=1/2.求：(1)若b=2，求c的值。(2)求b+c的取值范围。

Answer 1

解：（1）因为向量m乘以向量n=1/2.
所以(cosA/2)^2-(sinA/2)^2=-2/1,则cosA=(cosA/2)^2-(sinA/2)^2=120°
因为cosA=（b^2+c^2-a^2)/2bc,A=120°，a=2√3,b=2
所以，（c+1）^2=9,c=-4(舍），c=2
(2)因为两边之和大于第三边
所以b+c>2√3
因为cosA=（b^2+c^2-a^2)/2bc,A=120°，a=2√3
可得-bc=b^2+c^2-12,变形为bc=(b+c)^2-12<=(b+c)^2/4，当且仅当b=c时等号成立
所以-4<b+c<=4
所以2√3<b+c<=4
如果不对，可以提出。答案仅供参考。

Answer 2

第一问，c=2，第二问2√3<b+c<=4
理由如下：由m.n=0.5可知：-.cosA=0.5.则A=120度，再由正弦定理可得a/sinA=b/sinB可得sinB=0.5故B=30度，所以角C=180-120-30=30所以c=b=2
第二问：a/sinA=b/sinB=c/sinC
(b+c)/(sinB+sinC)=a/sinA=2√3/√3/2=4
b+c=4(sinB+sinC)
=4*2sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]
∵A+B+C=180
B+C=180-A=180-120=60
∴b+c=8sin60/2cos(B-C)/2
=4cos(B-C)/2
∵A=120
∴0<B<=60
0<C<=60
-60<=-C<0
-60<B-C<60
-30<(B-C)/2<30
∴√3/2cos(B-C)/2<=1
∴2√3<4cos(B-C)/2<=4
∴2√3<b+c<=4

希望能够帮到你！望采纳！！谢谢谢

Answer 3

(1)
向量m乘以向量n

=-cosA/2*cosA/2+sinA/2*sinA/2
=-(cosA/2*cosA/2-sinA/2*sinA/2)
=-cosA=1/2
cosA=-1/2
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=-1/2

b^2+c^2-a^2=-bc
4+c^2-12=-2c
c^2+2c-8=0
(c+4)(c-2)=0
c=-4(舍去) c=2

(2)
cosA=-1/2 -->A=120
sinA=√(1-cos^2A)=√3/2
a/sinA=b/sinB=c/sinC
(b+c)/(sinB+sinC)=a/sinA=2√3/√3/2=4
b+c=4(sinB+sinC)
=4*2sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]
∵A+B+C=180
B+C=180-A=180-120=60
∴b+c=8sin60/2cos(B-C)/2
=4cos(B-C)/2
∵A=120
∴0<B<=60
0<C<=60
-60<=-C<0
-60<B-C<60
-30<(B-C)/2<30
∴√3/2cos(B-C)/2<=1
∴2√3<4cos(B-C)/2<=4
∴2√3<b+c<=4

Answer 4

m*n=-cos ² A/2+sin² A/2=1/2
即-cosA=1/2
A=120°
sinA=√3/2
利用余弦定理
a²=b²+c²-2bccosA
(1)12=b²+c²+bc
12=4+c^2+2c
c^2+2c-8=0
(c+4)(c-2)=0
c=2
（2）b²+c²+bc=1/2(b²+c²)+1/2(b+c)²≥1/4(b+c)²+1/2(b+c)²
=3/4(b+c)²
即3/4(b+c)²≤12
所以b+c≤4
b+c＞2√3
所以2√3＜b+c≤4

Answer 5

m*n=-cos² A/2+sin² A/2=1/2
2sin² A/2-1=1/2
cosA=-1/2
A=π/3
a²=c²+b²-2bccosA
(1)4+c²+2c=12
c²+2c-8=0
(c+4)(c-2)=0
c=2，c=-4(舍去）
【第（2）题简洁过程：】
(2) a²=c²+b²-2bccosA

c²+b²+bc=12 (1)
3bc<=12
bc<=4 (2)
(1)+(2)
(b+c)^2<=16
则 b+c<=4
根据三角形定义
b+c>a
则 b+c>2√3
∴2√3<b+c<=4