Question

设二次型f(x1,x2,x3,x4)=x'Ax的正惯性指数为p=1,又矩阵A满足A^2-2A=3E,则此二次型的规范形为( )

A y1^2-y2^2-y3^2-y4^2
B 3y1^2-y2^2-y3^2-y4^2
C y1^2+y2^2-y3^2-y4^2
D y1^2+y2^2+y3^2-y4^2

Answer 1

因为 A^2-2A=3E
所以 A 的特征值a满足 (a-3)(a+1)=0
所以 A 的特征值只能是 3 或 -1.
又由于f的正惯性指数p=1
所以 A 的特征值为 3, -1, -1, -1
所以 规范型为 (A).

PS. 事实上,由正惯性指数p=1, 直接就得规范型(A)
若求标准形, 才需等式 A^2-2A=3E 来确定系数

追问

你好，我还想请问一下，规范型具体是怎样定义的，我在书上只看到有标准型

追答

规范型 是系数都是 1, -1 或0 的标准形