Question

过点C(0,1)的椭圆x^2/a^2 y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/2，椭圆与x轴交于两点A(a,0).B(-a,o),

过点C(0,1)的椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/2，椭圆与x轴交于两点A(a,0).B(-a,o),过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P。直线AC与直线BD交于点Q。（1）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长：（2）当点P异于点B时，求证；向量OP点乘向量OQ为定值

Answer 1

过点C(0,1)的椭圆x²/a² +y²/b²=1(a>b>0)的离心率为(√3)/2，椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(-a,o),过点C的直线L与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q。
（1）当直线L过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
（2）当点P异于点B时，求证；向量OP点乘向量OQ为定值。
解：
（1）把C(0,1)代入x²/a² +y²/b²=1得
b=1
又离心率为(√3)/2，即
c/a=(√3)/2
两边平方得
3a²=4c²
把c²=a²-b²=a²-1代入得
a=2
当直线L过椭圆右焦点(√3,0)时
L：x/√3+y=1
把L代入椭圆x²/4 +y²=1得
7x²-(8√3)x=0
即
x₁=0 ，x₂=(8√3)/7
故
CD=√[1+(-1/√3)²]| x₁- x₂|=[√(4/3)][(8√3)/7]=16/7
（2）设P(p,0)，p≠-2，则
L：x/p+y=1
代入椭圆x²/4 +y²=1易得
x₁=0 ，x₂=(2/p)/[(1/4)+(1/p²)]=8p/(4+p²)
从而
D(8p/(4+p²)，(p²-4)/(p²+4))
直线BD的方程为
y={[(p²-4)/(p²+4)-0]/[8p/(4+p²)-(-2)]}[x-(-2)]
直线AC的方程为
x/2+y=1
联列直线BD、AC的方程得
Q(4/p，1-2/p)
故
(向量OP)·(向量OQ)
=(p,0)·(4/p，1-2/p)
=p·(4/p)+0·(1-2/p)
=4
证毕

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Answer 2

(1)、设椭圆方程为X^2/a^2 Y^2/b^2=1
由e=根号3/2，得 a^2=（4/3）c^2 且 b^2=(1/3)C^2，所以椭圆方程可化为：
X^2/4 Y^2=c^2/3
设A（X1，Y1），B（X2，Y2）。由圆的直径式得圆的方程可以表示为：
(X-X1)*(X-X2) (Y-Y1)*(Y-Y2)=0,展开化简：X^2 Y^2-(X1 X2)X-(Y1 Y2)Y X1X2 Y1Y2=0
对比x^2 y^2-4x-2y 5/2=0 可得：X1 X2=4 Y1 Y2=2
又因为A、B在椭圆上，带入椭圆方程，有：X1^2/4 Y1^2=c^2/3 X2^2/4 Y2^2=c^2/3
两式联立(相等)化简（平方差公式）得：-0.25(X2-X1)(X2 X1)=(Y2-Y1)(Y2 Y1),
到这一步就很明显了，K=(Y2-Y1)/(X2-X1)=-0.5
（2）、至于椭圆方程，可以用直线与圆联立，解出A、B坐标，带入X1^2/4 Y1^2=c^2/3，就可以解出来了。

要有耐心哦~~~

Answer 3

(1)16/7(2)4