Question

用数列极限的定义证明 lim(a)^1/n=1 n~无穷

Answer 1

若a>1，则对于任意正数b。

存在正整数N=[lna/ln(1+b)]+1（解a^(1/N)-1<b得到）。

当n>N时，|a^(1/n)-1|=a^(1/n)-1<b。

所以lim(n→∞)a^(1/n)=1。

若a<1，则由前一种情况知lim(n→∞)1/a^(1/n)=1，所以lim(n→∞)a^(1/n)=1。

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

Answer 2

不妨设a>1，则a^(1/n)>1
设a^(1/n)=1+y，则y>0
所以，a=(1+y)^n>1+ny (n>3)（二项式展开）
所以,0<y<(a-1)/n
所以，lim y=0（n趋于无穷大）
所以,lima^(1/n)=1(n趋于无穷)
对于a<1的情况，可先研究(1/a)^(1/n)

Answer 3

若a>1，则对于任意正数b，
存在正整数N=[lna/ln(1+b)]+1（解a^(1/N)-1<b得到），
当n>N时，|a^(1/n)-1|=a^(1/n)-1<b
所以lim(n→∞)a^(1/n)=1
若a<1，则由前一种情况知lim(n→∞)1/a^(1/n)=1，所以lim(n→∞)a^(1/n)=1

Answer 4

lim(a)^1/n=lim(a)^1/n
=lime^(ln(a)^1/n)=e^lim(ln(a)^1/n)
而lim（ln(a)^1/n)）=lim(1/nlna)=0
所以原式=e^0=1