Question

关于椭圆的题目

已知圆C：X＾2＋Y＾2－2X＋4Y－4＝0，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C所截得的弦长AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线L的方程：若不存在，说明理由

Answer 1

解答；
这题跟椭圆何关？
设直线 y=x+m
代入圆的方程。
∴ x²+(x+m)²-2x+4(x+m)-4=0
∴ 2x²+(2m+2)x+m²+4m-4=0
∴ x1x2=(m²+4m-4)/2, x1+x2=-(2m+2)/2=-(m+1)
假设存在
则 x1x2+y1y2=0
即 x1x2+(x1+m)(x2+m)=0
∴ 2x1x2+m(x1+x2)+m²-0
∴ m²+4m-4-m(m+1)+m²=0
∴ m²+3m-4=0
∴ m=1或m=4
利用判别式>0
即 (2m+2)²-8(m²+4m-4)>0
∴ (m+1)²-2(m²+4m-4)>0
∴ m²+6m-9<0
∴ m=1满足
综上，直线方程是y=x+1