Question

在正方形ABCD中,E是直线BC上一点,连接AE,过C作CF垂直于AE与F,连接BF.

已知,在正方形ABCD中,点E是直线BC上一点,过C作CF⊥AE于F，连结BF如图1当点E在边BC上时，求证AF-CF=√2BF,要过程

Answer 1

做AG=CF，连接BG
AB=BC
∠CEF=∠AEB
∠CFE=∠ABE=90°
∴∠BCF=∠BAE
∴△ABG≅△BCF
BG=BF
∠ABG=∠CBF
∴∠FBG=90°
△BGF是等腰直角三角形
FG=√(2)BF
∴AF=AG+GF=CF+√(2)BF

追问

当点E在直线BC上时其他条件不变，如图2、图3两种情况下AF、CF、BF具有怎样的数量关系？并证明

追答

2. 在AF的延长线上，取AG=CF
可证明 AF+CF=√(2)BF
3. 在EA的延长线上，取AG=CF
可证明 CF-AF=√(2)BF

Answer 2

设∠EAB=α∵BE/AE=EF/CE,∠FEB=∠CEA,∴△FEB∽△CEA,∴sinα=BE/AE=EF/CE=BF/CA
左边=AF-CF=AE+EF-CF=AE+CEsinα-CF=AE+CEsinα-CEcosα又∵□ABCD,∴AB=CB,∴CE=AEcosα-AEsinα
∴AE+CEsinα-CEcosα=AE+CE(sinα-cosα)=AE+(AEcosα-AEsinα)(sinα-cosα)=AE(1-(sinα-cosα)^2)=
2AEsinαcosα.
右边=√2BF=√2CAsinα=√2*√2ABsinα=√2*√2AEsinαcosα=2AEsinαcosα.
左边=右边结论得证。