Question

如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E,F分别是AB,AC上的点且向量AE=m向量AB,向量AF=n向量AC

如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E,F分别是AB,AC上的点且向量AE=m向量AB,向量AF=n向量AC，其中，m，n属于（0，1），EF,BC重点为M,N且m+4n=1则绝对值向量MN的最小值是？

Answer 1

MN=AN-AM
AM=(1/2)(AE+AF)
AN=(1/2)(AB+AC)
AN-AM=(1/2)(AB+AC-AE-AF)=(1/2)[(1-m)AB+(1-n)AC]
于是MN=(1/2)[(1-m)AB+(1-n)AC]
因为m+4n=1
于是MN=(1/2)[4nAB+(1-n)AC]
|MN|²=（1/4)[16n²AB²+8n(1-n)AB*AC+(1-n)²AC²]
AB*AC=|AB||AC|cos120°=-1/2
于是|MN|²=(1/4)[16n²-4n(1-n)+(1-n)²]
=（1/4)(21n²-6n+1），n∈（0,1）
当n=3/21时，21n²-6n+1有最小值10/7
于是|MN|最小值为√70/14