还是那道求最大值的题
三角形ABC 中，M为BC中点，角ABC=60度，AM=2倍根号3，求AB+AC的最大值
明天我就能看到答案，答案上说是4倍根号7。 看了后我在看情况继续追问 展开
个人认为这道题几乎必然是抄错了.
不是不能做, 但是过程和答案太过繁琐, 不可避免的要解三次方程.
粗略的看了 神秘→隐士 的解答, 关键问题出在:
虽然x+y ≥ 2√(xy), 但是xy取得最大值时x+y未必最大.
zwj666666 的解答关键问题是上界是取不到的.
另外其中一步应为AB ≤ AM/sin60° = 4, 上界4+4√3.
为了证明我不是随便说说, 下面给出我的解答.
其中较多的使用了几何直观来确定最大值位置.
如果觉得不严谨, 完全可以用求导来做.
先从几何上看一下这个问题.
固定线段AM, 并限制B在AM的一侧.
由∠ABM = 60°, B点的轨迹为一个圆弧(图中绿色圆弧), 设其圆心为D.
连AD, DM, 有圆心角∠ADM = 2∠ABM = 120°.
又AD = DM, 故∠DAM = 30°, AD = AM/(2cos∠DAM) = 2.
取AB中点N, AD中点O. 由中位线定理, ON = BD/2 = AD/2 = 1.
故N的轨迹为以O为圆心, 1为半径的圆弧(图中红色圆弧).
连MN, 由中位线定理有MN = AC/2, 又AN = AB/2, 得AB+AC = 2(MN+AN).
要求AB+AC的最大值, 只需求MN+AN的最大值.
问题转化为: 求⊙O上一点N, 使其到M, A的距离和最大.
平面上到M和A距离和为定值的点的集合为以M, A为焦点的椭圆.
当椭圆如图所示与⊙O相切, 由⊙O上除切点以外的点均在椭圆内部,
它们到M, A的距离和 < 椭圆上的点到M, A的距离和 = 切点到M, A的距离和.
即切点到M, A的距离和最大.
当椭圆与⊙O相切于N, 在切点N处二者的切线重合, 因此法线也重合.
连ON, 则ON为二者在N处的法线.
由椭圆的"光学性质", ON平分∠MNA.
设∠BAD = θ, 有∠MNO = ∠ONA = ∠NAO = θ.
AN = 2OAcos∠NAO = 2cosθ.
又∠DAM = 30°, 故∠NAM = θ+30°.
有∠ANM = 2θ, ∠NMA = 150°-3θ.
由正弦定理, AN/AM = sin∠NMA/sin∠ANM.
得到三角方程2cosθ/(2√3) = sin(150°-3θ)/sin2θ.
可展开整理为√3cos³θ+5cos²θsinθ-3√3cosθsin²θ-3sin³θ = 0.
设t = √3/tanθ, 可将上式化为t³+5t²-9t-9 = 0 ①.
先不解方程, 而是用t表达AB+AC.
AB+AC = 2(MN+AN) = 2AM(MN/AM+AN/AM) = 4√3(sin(θ+30°)+sin(150°-3θ))/sin2θ
= 8√3sin(90°-θ)cos(2θ-60°)/sin2θ = 4√3cosθ(cos2θ+√3sin2θ)/sin2θ
= 4√3cosθ(√3+1/tan2θ) = 4√3cosθ(√3+(1-tan²θ)/(2tanθ))
= 4√3cosθ(√3+(1-(√3/t)²)/(2√3/t)) = 4√3cosθ(√3+(t²-3)/(2√3·t))
= 2cosθ(t²+6t-3)/t.
(AB+AC)² = 4(t²+6t-3)²/(t²/cos²θ) = 4(t²+6t-3)²/(t²+t²tan²θ)
= 4(t²+6t-3)²/(t²+t²(√3/t)²) = 4(t²+6t-3)²/(t²+3)
= 4(t²+12t+27-72(t+1)/(t²+3))
可验证恒等式: (x³+5x²-9x-9)(x-2)-(x²+3)(x²+3x-22) = 84.
由t是①的根, 代入x = t得-12/(t²+3) = (t²+3t-22)/7.
(AB+AC)² = 4(t²+12t+27+6(t+1)(t²+3t-22)/7) = 4(t²+24t+111+6(t³+5t²-9t-9))/7
= 4(t²+24t+111)/7 ②.
表达式不能消去t, 因此还是要求解一元三次方程①.
解的形式非常复杂, 下面是Mathematica的结果(根式解和数值解).
由θ是锐角, 其中有意义的是那个正根.
t也可以用反三角函数表达.
设t = (4√13·s-5)/3, 代入①化简得4s³-3s = -103√13/676.
由三倍角公式, s = cos(arccos(-103√13/676)/3+2kπ/3).
于是t = (4√13·cos(arccos(-103√13/676)/3+2kπ/3)-5)/3.
k = 0时为正根, t = 1.9555819586...
代入②式可得AB+AC最大值的表达式:
4√14/21·√(26cos(arccos(-103√13/676)/3)²+31√13cos(arccos(-103√13/676)/3)+83)
= 9.61422362...
个人不认为这个答案能实质性的化简.
鉴于答案的复杂性超出一般题目的限度, 这应该不是题目的本意.
答的好详细，先谢谢你了。刚考完试，我回家看。要是对了给你再加50。
你慢慢看, 有疑问请追问.
这里再贴一下"实测"的结果作为对上述计算的验证.
图中的角度就是-θ(作图时为了顺时针旋转取了负号).
AO是单位长度, 所以(AB+AC)/AO得到的是AB+AC的相对长度.
可见与计算结果完全吻合.
取得最大值这一点则由椭圆与⊙O相切和前面的论证保证.
当然前提是承认作图和度量的精确性.
设三边：BC= a，AC= b，AB= c，BC中点为E，AD⊥BC于D，
按中线公式，则2√3=（1/2）√（2b²+2c²－a²）
正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC，
我们验证△ABC不同情况下（AB+AC）的值：
当∠BAD=90°，则∠ADB=30°
AB/sin30°=2√3/sin60°，AB=0.5×2√3/0.866=0.5×4=2
BE/sin90°=2√3/sin60°，BE=1×4=4
BC=4×2=8，
AD=ABsin60°=2×0.866=1.732
BD= ABsin30°=2×0.5=1
CD=8－1=7
AC=√（1.732²+7²）=7.211；
AB+AC=2+7.211=9.211。
当∠BAD=85°，则∠ADB=35°，
AB/sin35°=2√3/sin60°，AB=0.5736×2√3/0.866=0.5736×4=2.2943
BE/sin85°=2√3/sin60°，BE=0.9962×4=3.9848
BC=3.9848×2=7.9696，
AD=ABsin60°=2.2943×0.866=1.9869
BD= ABsin30°=2.2943×0.5=1.1472，
CD=7.9696－1.1472=6.8224
AC=√（1.9869²+6.8224²）=7.1058，
AB+AC=2.2943+7.1058=9.3988＞9.211。
当∠BAD=60°，则∠ADB=60°，
AB/sin60°=2√3/sin60°，AB=2√3=3.464
BE/sin60°=2√3/sin60°，BE=3.464
BC=6.928，
AD=ABsin60°=3，
BD= ABsin30°=1.732
CD=6.9928－1. 732=5.196，
AC=√（1.732²+5.196²）=5.4771，
AB+AC=3.464+5.4771=8.941＜
当∠BAD=80°，则∠ADB=40°，
AB/sin40°=2√3/sin60°，AB=0.6428×2√3/0.866=0.6428×4=2.9805
BE/sin80°=2√3/sin60°，BE=0.98481×4=3.9392
BC=3.9392×2=7.8784，
AD=ABsin60°=2.9805×0.866=2.5811，
BD= ABsin30°=2.9805×0.5=1.4902，
CD=7.8784－1.4902=6.3882
AC=√（2.5811²+6.3882²）=6.89，
AB+AC=2.9805+6.89=9.8704
当∠BAD=80°时，AB+AC=9.87这是较大的值了。
用逐步逼近法可求得其更好的较大值。
（我的计算器坏了，最近时间不能给出更好答案了）
你说的AB+AC的最大值是不存在的，你可能抄错题了
应该是求AB+BM的最大值吧，直观上AB=BM=AM时，最大；严格计算就是设定一个角的度数X，用X表示出AB，BM，然后求最大值，大概就这样吧！
