Question

一道二重积分的问题。

求∫∫√（1-x2-y2）/（1+x2+y2） 其中D是圆x2+y2＝1在第一象限的过程 求解。～
我知道用极坐标代换 代换之后就不会处理咯 还麻烦详细解答一下 谢谢！！

Answer 1

令x=rcosQ，y=rsinQ ，0<=Q<=π/2，0<=r<=1
∫∫√（1-x2-y2）/（1+x2+y2）dxdy=∫(0,π/2)dQ∫(0,1)√[（1-r^2）/（1+r^2）]*rdr

追问

我就做到这步再往下不会咯。。。再往下呢？？

追答

=π/2*∫(0,1)√[（1-r^2）/（1+r^2）]*1/2dr^2=π/4*∫(0,1)√[（1-r^2）/（1+r^2）]dr^2
算∫√[（1-r^2）/（1+r^2）]dr^2
=∫√[（1-y）/（1+y）]dy
=∫（1-y)/√（1-y^2）dy
=∫1√（1-y^2）dy+∫d(1-y^2)/[2√（1-y^2）]
=arcsiny+√（1-y^2）+c
=arcsinr^2+√（1-r^4）+c
分别取r为1或0代入求得∫(0,1)√[（1-r^2）/（1+r^2）]dr^2=π/2-1
再乘π/4就是最后结果：π/4*（π/2-1）

Answer 2