Question

设函数f(x)及g(x)都在x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处的取值是什么？

Answer 1

我来帮楼主解答吧O(∩_∩)O~
解：函数f(x)及g(x)都在x=a处取得极大值，可知，f‘（a）=0，g’（a）=0。
对F(x)=f(x)g(x)求导得：F‘（x）=f’（x）g（x）+f（x）g‘（x），那么F‘（a）=f’（a）g（a）+f（a）g‘（a）=0，则在x=a处是函数F(x)=f(x)g(x)的极值点，但极大值还是极小值无法判断，因为函数f(x)及g(x)在x＜a，x=a，x＞a取值正负未知，所以不能判断F‘（x）=f’（x）g（x）+f（x）g‘（x）在x=a处是极大值还是极小值。

希望对楼主有所帮助O(∩_∩)O~

Answer 2

F‘(x)=f(x)’g(x)+f(x)g‘(x)

x=a的时候f‘(x)及g’(x)都等于0

所以F‘(a)=f(a)’g(a)+f(a)g‘(a)=0
只能说F（x）在x=a处取得极值，不能说是最大值
我们假设f(a)<0,而g(a)>0 那么F(a)<0 既然g(a)是最大值，那么如果出现g(x)<0的时候，那么F(X)就大于0了，所以这个F(a)就不是最大值

同理，如果f（x）和g(x)都恒为正数的话，那么F(a)为最大值，所以它既可以是最大值，也可以不是最大值，那么就只能说是导数为零的驻点了。

Answer 3

函数f(x)及g(x)都在x=a处取得极大值

f'(a)=0, g'(a)=0，f''(a)<0, g''(a)<0

F'(x)=[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
F'(a)=0，也有极值

F''(x)=f''(x)g(x)+f'(x)g‘(x)+f'(x)g'(x)+f(x)g''(x)
F''(a)=f''(a)g(a)+0+0+f(a)g''(a) ,极大还极小取决于g(a) f(a)的正负

Answer 4

给F(x)=f(x)g(x)求导，得到导数F’(x)=f’(x)g(x）+f(x)g‘(x)。
由f(x)及g(x)都在x=a处取得极大值得：
f’(a)=0。g‘(a)=0。
所以F‘(a)=f’(a)g(a）+f(a)g‘(a)=0
所以函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处取的是极值，极大值或者极小值。

Answer 5

不一定，例如：f(x)=g(x)=-x^2, 在0处取得极大值，但乘积取得极小值