Question

sin3xsin^3+cos3xcos^3X=cos^2X的解答

如题

Answer 1

两种解法，看你喜欢那种
解法一：积化和差：
2sin(3x)sin(x)=cos(2x)-cos(4x)
2cos(3x)cos(x)=cos(4x)+cos(2x)
所以
2[sin(3x)sin^3(x)+cos(3x)cos^3(x)]
=sin^2(x)[cos(2x)-cos(4x)]+cos^2(x)[cos(2x)+cos(4x)]
=[cos^2(x)-sin^2(x)]cos(4x)+[cos^2(x)+sin^2(x)]cos(2x)
=cos(2x)cos(4x)+cos(2x)
所以 cos(2x)cos(4x)+cos(2x)=2cos^2(2x)
所以 cos(2x)[cos(4x)+1-2cos(2x)]=0
所以 cos(2x)[2 cos^2(2x)-2cos(2x)]=0
所以 cos^2(2x)[cos(2x)-1]=0
所以 cos(2x)=1或cos(2x)=0
所以 2x=2nπ 或 2x=(2n+1)π/2
所以 x=nπ 或 (2n+1)π/4，(任意整数n)
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解法二：把所有的弄成c=cos(x)的多项式
两倍角公式：cos(2x)=2cos^2(x)-1
三倍角公式：cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x), sin(3x)=3sin(x)-4sin^3(x)=sin(x)(4cos^2(x)-1)
所以：sin(3x)sin^3(x)=sin^4(x)(4cos^2(x)-1)=(1-cos^2(x))^2(4cos^2(x)-1)
所以：(1-c^2)^2(4c^2-1)+c^3(4c^3-3c)-(2c^2-1)^2=0
展开化简：8c^6-16c^4+10c^2-2=0
所以：2(c^2-1)(4c^4-4c^2+1)=0
所以：2(c-1)(c+1)(2c^2-1)^2=0
所以：c=1,-1,1/√2, -1/√2
所以：x=2nπ, (2n+1)π, 2nπ±π/4, 2nπ±3π/4
即：x=nπ，nπ±π/4

Answer 2

由积化和差公式sin3xsinx=(cos2x-cos4x)/2,cos3xcosx=(cos2x+cos4x)/2
∴(sinx)^2(cos2x-cos4x)+(cosx)^2(cos2x+cos4x)=1+cos2x
∴cos2x[(sinx)^2+(cosx)^2]+cos4x[(cosx)^2-(sinx)^2]=1+cos2x
∴cos2x+cos4xcos2x=1+cos2x
∴cos4xcos2x=1
∴cos2x,cos4x同为1或同为-1
∵cos4x=2(cos2x)^2-1=1
∴cos2x=cos4x=1
∴x的解为x=kπ(k是任意整数)