Question

一道数学证明题！求标准过程！

Answer 1

Answer 2

当x>1时，易知(4x+1)(x+1)(x-1)>0
展开可得 4x∧3 -9 x∧2+6x+1>0
两边除以x∧2并移项可得4x>9+1/x^2-6/x=(3-1/x)^2
由于x>1，所以易知3-1/x>0
所以不等式两边开方可得2√x>3-1/x
命题得证

Answer 3

当x>1时，易知(4x+1)(x+1)(x-1)>0
展开可得 4x∧3 -9 x∧2+6x+1>0
两边除以x∧2并移项可得4x>9+1/x∧2-6/x=(3-1/x)∧2
由于x>1，所以易知3-1/x>0
所以不等式两边开方可得2√x>3-1/x
命题得证
这是典型的综合法解题，先用分析法分析出最后一步所需要的式子，再反过来写

Answer 4

令f(x)=2√x+1/x-3，则f ‘(x)=1/√x-1/x²>0对x>1恒成立，
所以当x>1时，f(x)=2√x+1/x-3单调递增，
故f(x)>f(1)=2+1-3=0，
即当x>1时，2√x>3-1/x。

Answer 5

设t=√x，x=t^2（t>1）
令f(x)=2√x-3+1/x
=2t-3+1/t^2
f'(x)=2-2/t^3
因为t>1
所以1/t<1
f'(x)>0

所以函数f(x)在x>1内递增
任取x>1内的数，如x=4
得f(x)=3/4>0
所以2√x-3+1/x>0
即2√x>3-1/x

Answer 6

设函数分f(x)=2√x+1/x-3.f'(x)=1/√x-1/x²=1/x²(x^(3/2)-1)因为在（1，∞）上1/x²>0,x^(3/2)-1>0，所以f'(x)>0即f(x)在（1，∞）上单调递增，所以f(x)>f(1)=0即2√x+1/x-3>0,所以2√x-3>1/x在x>0上衡成立。像这种不等式可以通过把右边的移到左边，然后设左边的式子为一个函数，然后在定义域内取函数的最值问题，即可以解出这种类型的题目，有时候求一次导数是不够的，有时候往往会在设导数为一个新的导数，在去求这个新的函数的导数，再来讨论这个函数的最值，然后依次的向上推进。希望我讲的你能明白，不明白的你可以继续追问。
望采纳。