Question

已知平面直角坐标系上的三点A（0，1）B（-2，0）C（cosθ，sinθ）｛θ属于（0，π）｝

已知平面直角坐标系上的三点A（0，1）B（-2，0）C（cosθ，sinθ）｛θ属于（0，π）｝，且
向量BA与向量OC垂直。求tanθ，求sin(Θ-π/4)，求cos（2θ－π╱3）

Answer 1

由已知得：
向量BA=（-2，-1），向量OC=（cosθ，sinθ）
因为向量BA⊥向量OC，所以：
-2cosθ-sinθ=0
即sinθ=-2cosθ
而θ属于（0，π），即有：sinθ>0
所以：cosθ<0
因为sin²θ+cos²θ=1，所以：
(-2cosθ)²+cos²θ=1
即cos²θ=1/5
解得：cosθ=-(√5)/5，sinθ=-2cosθ=2(√5)/5
所以：tanθ=sinθ/cosθ=-2
而sin(θ-π/4)=sinθ*cos(π/4)-cosθ*sin(π/4)=[2(√5)/5 +(√5)/5]*(√2)/2=(3√10)/10
又sin(θ-π/6)=sinθ*cos(π/6)-cosθ*sin(π/6)=[2(√5)/5]*(√3)/2 + [(√5)/5]*1/2=(2√15 +√5)/10
所以：cos(2θ-π/3)=cos2(θ-π/6)=1- 2sin²(θ-π/6)=1- 2*[(2√15 +√5)/10]²=-(3+4√3)/10

追问

向量ba不是（0-（－2），1－0）吗

追答

抱歉！更正一下：
由已知得：
向量BA=（2，1），向量OC=（cosθ，sinθ）
因为向量BA⊥向量OC，所以：
2cosθ+sinθ=0
即sinθ=-2cosθ
而θ属于（0，π），即有：sinθ>0
所以：cosθ<0
因为sin²θ+cos²θ=1，所以：
(-2cosθ)²+cos²θ=1
即cos²θ=1/5
解得：cosθ=-(√5)/5，sinθ=-2cosθ=2(√5)/5
所以：tanθ=sinθ/cosθ=-2
而sin(θ-π/4)=sinθ*cos(π/4)-cosθ*sin(π/4)=[2(√5)/5 +(√5)/5]*(√2)/2=(3√10)/10
又sin(θ-π/6)=sinθ*cos(π/6)-cosθ*sin(π/6)=[2(√5)/5]*(√3)/2 + [(√5)/5]*1/2=(2√15 +√5)/10
所以：cos(2θ-π/3)=cos2(θ-π/6)=1- 2sin²(θ-π/6)=1- 2*[(2√15 +√5)/10]²=-(3+4√3)/10