Question

1.设[f(x)-e^x]sinydx-f(x)cosydy是一个二元函数的全微分，且f（x）具有一阶连续导数，f(0)=0,则f(x)=?

2.设函数f(u,v)由关系式f(x+g(y),y)=xy确定，其中函数g(y)可微，则[(δ^2)f]/δuδv等于？
3.设f(x)=∫(0--sinx) ln(1+t^2)dt,g(x)=x^3+tan^4 x,则当x--0时，f（x）是g（x）的什么无穷小
4.设f1(x)的一个原函数是e^2x,f2(x)的一个原函数是e^-2x,则当D时区域0<=x<=1,0<=y<=1时，∫∫f1(x)f2(y)dδ=？
5.∫（0--1）e^(-x)dx与∫（0--1）e^(-x^2)dx的大小关系

Answer 1

1、[f(x)-e^x]sinydx-f(x)cosydy是一个二元函数的全微分
d{[f(x)-e^x]siny}/dy=d{-f(x)cosy}/dx
[f(x)-e^x]cosy=-f'(x)cosy
f'+f=e^x，f(0)=0
f=[e^x -e^(-x)]/2
2、设u=x+g(y),v=y
f(u,v)=[u-g(v)]v=uv-vg(v)
δf/δu=v,δf/δv=u-g(v)-vg'(v)
[δ^2)f]/δuδv=1
3、用洛必达法则对limf(x)/g(x)分号上下求导，因为分母有个tan^4 x，算起来很麻烦，我就不算了。
要用求导数消掉分母中的x^3，大约连续求3次导数就能求出结果了。若结果=0，则是低阶无穷小；若=非0常数，则是等价无穷小；若结果为∞，则为高阶无穷小
4、∫∫f1(x)f2(y)dδ
=∫f1(x)dx∫f2(y)dy
=e^2x|<0,1>e^-2y|<0,1>
=(e^2-1)[e^(-2)-1]
=2-e^(-2)-e^2
5、0<x<1时，x>x^2
-x<-x^2
∵e^x单调递增，x=0时，俩函数=1
∴e^(-x)在[0,1]上处处＜e^(-x^2)
∴∫（0--1）e^(-x)dx<∫（0--1）e^(-x^2)dx