Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2图像上 一点p（1，b）的切线斜率为-3 已知函数f(x)=x ³

已知函数f(x)=x^3+ax^2图像上 一点p（1，b）的切线斜率为-3 已知函数f(x)=x ³+ax ²图像上一点 P(1,b)的切线斜率为-3，g(x)=x ³+[(t-6)/2]x ²-(t+1)x+3（t＞0） 求（1） a，b的值 （2）当x∈[-1,4]时求 f（x）的值域 （3）当x∈[1,4]时， 不等式f（x）≤g（x）成立，求实数t 的取值范围

Answer 1

答：
（1）f(x)=x^3+ax^2，f'(x)=3x^2+2ax
f'(1)=3+2a=-3
f(1)=1+a=b
所以：a=-3，b=-2

（2）f(x)=x^3-3x^2，f'(x)=3x^2-6x，故x<0或者x>2时f'(x)>0，f(x)为增函数，0<x<2时f(x)为减函数。故x∈[-1,4]时，f(x)先是增函数（-1=<x=<0时），然后是减函数（0=<x=<2时），再然后是增函数（2=<x=<4时）。
f(-1)=-4，f(0)=0，f(2)=-4，f(4)=16
故f(x)的值域为[-4,16]

（3）f（x）≤g（x），即：m(x)/2=g(x)-f(x)>=0
m(x)/2=x ³+[(t-6)/2]x ²-(t +1)x+3-(x^3-3x^2)>=0
m(x)=tx^2-2(t+ 1)x+6=t[(x-(t +1)/t]^2+6-(t+ 1)^2/t>=0
在x∈[1,4]时恒成立，显然t≠0
（a）当t>0并且(t +1)/t=<4即t>=1/3时，对称轴x=（t +1）/t在取值范围[1,4]内，m(x)最小值为6-(t +1)^2/t>=0，解得1/3=<t<=2+√3
（b）当t>0并且(t+ 1)/t>=4即0<t=<1/3时，对称轴x=（t +1）/t不在取值范围[1,4]内，m(x)最小值为m(4)=8t-2>=0，解得1/4=<t<=1/3。
（c）当t<0时，对称轴x=（t+ 1）/t在取值范围[1,4]左侧，m(x)最小值m(4)=8t-2>=0，解得t>=1/4与t<0矛盾，假设不成立。
综上所述：1/4=<t<=2+√3

Answer 2

（1） f'（x）=3x^2 2ax f'（x）=k=-3且该点x=1 代入解得a＝-3 f（x）=3x^2-6x 把点p（1,b）代入函数f（x） 解得b＝-3 （2）当x=-1时f（x）=-2当x=4时f（x）=52 ∴当x∈[-1,4]时求f（x）的值域为［-2，52] （3）依题意，得：x^3 ［（t-6）/2]x=x^3-3x^2 化简，得：t≥6-6x当x=1时，t≥0 当x=4时，t≥-18 ∴t的取值范围为［0， ∞）