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1. 正确.
首先∑(u[n]+v[n])²是正项级数.
而由不等式: (a+b)² ≤ 2a²+2b², 有∑(u[n]+v[n])² ≤ 2∑u[n]²+2∑v[n]² < +∞.
正项级数部分和有界, 故收敛.
2. 不正确.
反例如u[n] = 1/n², v[n] = 1.
在∑u[n]v[n]收敛的同时, ∑u[n]²收敛而∑v[n]²发散.
稍微调整一下(例如奇偶交替), 可以使∑u[n]²和∑v[n]²都发散.
逆命题是正确的, 用不等式|ab| ≤ a²/2+b²/2即可证明.
首先∑(u[n]+v[n])²是正项级数.
而由不等式: (a+b)² ≤ 2a²+2b², 有∑(u[n]+v[n])² ≤ 2∑u[n]²+2∑v[n]² < +∞.
正项级数部分和有界, 故收敛.
2. 不正确.
反例如u[n] = 1/n², v[n] = 1.
在∑u[n]v[n]收敛的同时, ∑u[n]²收敛而∑v[n]²发散.
稍微调整一下(例如奇偶交替), 可以使∑u[n]²和∑v[n]²都发散.
逆命题是正确的, 用不等式|ab| ≤ a²/2+b²/2即可证明.
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