Question

一道高数无穷级数题目，谢谢！

判断，并解释一下！

Answer 1

1. 正确.
首先∑(u[n]+v[n])²是正项级数.
而由不等式: (a+b)² ≤ 2a²+2b², 有∑(u[n]+v[n])² ≤ 2∑u[n]²+2∑v[n]² < +∞.
正项级数部分和有界, 故收敛拦尺肢.

2. 不正确.
反例如u[n] = 1/n², v[n] = 1.
在∑u[n]v[n]收敛的同时, ∑u[n]²收敛而∑v[n]²发散.
稍微调整一下(例如奇偶交替), 可以使∑u[n]²和∑v[n]²都发散.

逆困握命题是正确的, 用不等式|ab| ≤ a²/2+b²/2即简世可证明.

Answer 2

1,(un+vn)^2=un^2+vn^2+2unvn<=2(un^2+vn^2),由比较判氏改别法,左脊核携边收敛樱伏
2.题目有点问题vn=1,un=1/n^2就不行