Question

三角形ABC中,B=60度,AB=3,D点在线段AC上,且AD=2DC,BD=根号21,求BC长

我是用cosA列了两个等式联立，再用cosB列了一个等式，但为什么我最后解不出来？
求解答，谢谢！！

Answer 1

设AC=b，AD=2b/3，DC=b/3，BC=a
由题意：在△ABC中， a² = b² + 3² - 2*3*b cos A ==> a²-9=b²- 6b cosA 式1
b² = a² + 3² - 2*3*a cos B ==> b² = a² + 9 - 3a 式2
将式2，代入式1，可以得出：a=6-2b cosA ==>b cos A = 3-a/2 式3

在△ABD中，(√21)² = (2b/3)² + 3² - 2*3*(2b/3) cos A ==>
27 =b² - 9b cosA 式4
将式2、式3 代入式4，有a² + 9 - 3a -9(3-a/2) =27 ==> 2a² + 3a - 90 =0
==>(2a-15)(a-6)=0
解此一元二次方程，可得a1=7.5, a2=6.

验证：当a=7.5时，b≈6.54, 满足三角形两边和大于第三边。
当a=6时，b=3√3 ≈5.2, 满足三角形两边和大于第三边。
所以两个值应该都OK。