Question

求由曲面z=2-x^2 , z= x^2 + 2 y^2 所围成的立体的体积

Answer 1

首先将两个方程并列找出两个曲面相交的曲线。通过消去z，我们得到：
2-x²=x²+2y²
即
x²+y²=1
所以，此曲线位于半径为1的圆柱面上。那么x和y的积分限很容易就找到了：x²+y²=1

要找到z的积分限，就需要知道两个曲面哪个在上面，哪个在下面。因为所包的体积在圆柱内部，所以要求x²+y²<1。用这个条件，我们发现2-x²>x²+2y²，即z=2-x²在上面，z=x²+2y²在下面。

根据上面的讨论，我们就可以写出体积分：
V=∫∫dxdy∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz
这里我用符号_(x²+2y²)来表达z积分的下限，^(2-x²)表达z积分的上限。(记住xy积分限是圆形x²+y²=1。)
对z的积分很容易：

∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz=(2-x²)-(x²+2y²)=2-2x²-2y²
剩下的就是对xy的两重积分。

V=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy
这个积分最容易在极坐标里做。变换为极坐标时，x²+y²=r²，dxdy=rdrdφ。积分限为r从0到1，φ从0到2π。
V=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy=∫_0^1(2-2r²)rdr∫_0^(2π)dφ
两个积分各为：

∫_0^(2π)dφ=2π
∫_0^1(2-2r²)rdr=r²-(1/2)r^4|_0^1=1/2
V=(1/2)2π=π
所以体积是π。