Question

在三角形ABC中,向量CA乘向量CB等于c^2-(a-b)^2,a+b=4，求三角形周长最小值？

Answer 1

由已知可得：
向量CA·向量CB=b*a*cosC=c²-(a-b)²
而由余弦定理有：c²=a²+b²-2ab*cosC
那么：a²+b²-2ab*cosC-(a-b)²=ab*cosC
即：2ab=3ab*cosC
解得：cosC=2/3
所以：c²=a²+b²-(4/3)*ab
即：c²=(a+b)²-(10/3)*ab
已知a+b=4，那么：c²=16- (10/3)*ab
由均值定理有：a+b≥2√(ab)
即：√(ab)≤2
所以：0<ab≤4 （当且仅当a=b时取等号）
所以：-40/3≤- (10/3)*ab<0
那么：8/3≤16- (10/3)*ab<16
即：8/3≤c²<16
所以：2(√6)/3≤c<4
即当a=b=2时，c有最小值2(√6)/3
所以此时三角形周长最小值为：a+b+c=4+ 2(√6)/3