Question

大家帮我看下下面这个高数题目题干是不是有问题,关于变积分限函数求极限问题

这里f(x)只说在x=0这一点处一阶可导也就是这一点连续,并没有说f(x)在某个区间上连续,那为什么∫(0到x^2)f(u)du还可以求导了?因为书上定义是:若f(x)在区间[a,b]上连续,则F(x)=∫(a到x)f(t)dt在[a,b]上可导,且F'(x)=f(x). 而我这个题是不满足这个条件的啊?

Answer 1

你说的是对的，在某点可导并不一定能推出在该点的某一领域上连续的，反例一般都是类比黎曼函数来构造的，你应该知道，我不说了。

但这个题目是绝对没有问题的，你可以翻翻它的出处，好像是某一年的考研题，所以都经过专家考虑过的。因为学高数的时候，都知道所求极限的的分子是个积分上限函数，而积分上限函数本身的定义就附带了被积函数在某区间连续的。就像中学做函数题目一样，题目并没有指出x的范围，但是函数一写出来，它就有定义域，我们必须就默认x有范围，你不能因为题目没写x的范围，从而认为题目这个函数是非法的错误的。这里是一个道理，别人一写出来积分上限函数(也叫积分变上限函数)，就默认是连续的。

你的思考是非常好的，如果继续保持这样的思考，那么不需要多久这里的人水平都不如你。

追问

额.可是书上写的是只要在[a,b]上可积,他就有积分上限函数,而不要求连续啊?但是连续和可积是不同的啊,可积可能包含第一类间断点

追答

不可能啊，你学的什么教材？？你学的积分上限函数的定义一定是：设函数在区间上连续，考察定积分 如果上限在区间上任意变动，则对于每一个取定的值，定积分有一个对应值，所以它在上定义了一个函数，称它为积分上限函数啊。你看看书，定义就必须是连续的。定义这样规定是为了对属于区间上的任意的上限x，积分都存在。所以当你一看到积分上限函数，就要知道函数是连续的。

Answer 2

可认为满足，原因如下：
罗比达的使用条件是在所求极限点附近可以求导
如果在x=0处一阶可导，在你现在需要了解的范围内，
可以认为至少存在一个很小的邻域[-ε,ε]上f是连续的，因为可导->连续
只要保证x^2是在这个小区间内即可，因为x->0,很容易办到。
然后你就没问题了吧~

当然等你学了更多的更深的知识后，的确会发现存在函数在x=0处可导，但没有此点的邻域内连续。此题不够严谨，但你目前不需要考虑复杂的情况，默认那个积分可导吧~

追问

如果函数在某一点连续是推不出他在这点的邻域连续的,书上有专门证明过

追答

对的，我说了，题不够严谨，你的想法是好的，只不过在目前课的要求下，你只需考虑简单情况。如果进入实变，泛函之后你会发现你想的都会提及~

Answer 3

是对的！f(x)在x=0点连续，则在0一个邻域内连续，x趋于0可保证x在一定时刻后含在邻域内。

追问

f(x)在x=0点连续，则在0一个邻域内连续这个结论是错的,我在书上看到过

追答

f(x)在x=0点可导,则在0一个邻域内连续，x趋于0可保证x在一定时刻后含在邻域内。

追问

没有你说的这个定理阿,f(x)在x=0点可导,只能推出在x=0这点连续,不能得出x=0的邻域连续的