Question

已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．

（1）若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h；
（2）当点P在△ABC内（如图2），以及点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

一般情况，点P在三角形内部，用三角形ABC的面积等于三角形APB+APC+BPC的面积，可以得到方程（面积前面的二分之一在方程两边都省略了）
h·BC=h1·AB+h2·AC+h3·BC=(h1+h2+h3)·BC
所以有h=h1+h2+h3
所以（1）结论成立，对于点p在三角形内部成立
而P在三角形外面时，上述方程的右边的面积会大于正三角形的面积，所以结论就是h<h1+h2+h3