Question

高中数学：在平面直角坐标系xoy中,动点P到两点(-√3,0),(√3,0)的距离之和等于4， 设点P的轨迹为曲线C，

直线l过点E（-1，0）且与曲线C交于A，B两点。
（1）求曲线C的轨迹方程
（2）是否存在三角形AOB的最大值，若存在，求出三角形AOB的面积，若不存在，说明理由。时间紧急，望快速作答，谢谢！！

Answer 1

解：
(1)
根据题意C是椭圆
2a=4
a=2
c=√3
b=1
C:x²/4+y²=1
(2)
l不能与x轴重合，否则AOB不构成三角形
设l:ky=(x+1)
则x=ky-1
与椭圆方程联立
(k²+4)y²-2ky-3=0
由韦达定理得
y1+y2=2k/(k²+4)
y1y2=-3/(k²+4)
(y1-y2)²
=(y1+y2)²-4y1y1
=16(k²+3)/(k²+4)²
=16(k²+3)/[(k²+3)²+2(k²+3)+1]
=16/[(k²+3)+2+1/(k²+3)]
k²+3+1/(k²+3)是对勾函数，在k²+3=1时取最小值
但是由于k²+3≥3
所以(y1-y2)²
=16/[(k²+3)+2+1/(k²+3)]
≤16/[2+3+1/3]
=3
|y1-y2|≤√3
所以当l垂直于x轴时，面积最大，为1*√3/2=√3/2

如仍有疑惑，欢迎追问。 祝：学习进步！

追问

辛苦辛苦！感谢感谢！那要是用X做呢？？把Y=K（X+1)带进椭圆方程？？

追答

这道题用y来做比较好！
因为ΔOAB的面积分成两部分ΔOEA,ΔOEB之后，底边OE=1是确定的，而他们的高就正好是两根y1，y2的绝对值，所以把x消掉绝对是经济适用的方法。

如果非要把y消掉，那么得到x1和x2，最后还是要把它换成y才好计算面积，复杂度大大增加。

Answer 2

C是椭圆 轨迹方程就是x^2/4+y^2/1=1