
高中数学:在平面直角坐标系xoy中,动点P到两点(-√3,0),(√3,0)的距离之和等于4, 设点P的轨迹为曲线C,
直线l过点E(-1,0)且与曲线C交于A,B两点。(1)求曲线C的轨迹方程(2)是否存在三角形AOB的最大值,若存在,求出三角形AOB的面积,若不存在,说明理由。时间紧急...
直线l过点E(-1,0)且与曲线C交于A,B两点。
(1)求曲线C的轨迹方程
(2)是否存在三角形AOB的最大值,若存在,求出三角形AOB的面积,若不存在,说明理由。时间紧急,望快速作答,谢谢!! 展开
(1)求曲线C的轨迹方程
(2)是否存在三角形AOB的最大值,若存在,求出三角形AOB的面积,若不存在,说明理由。时间紧急,望快速作答,谢谢!! 展开
2个回答
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解:
(1)
根据题意C是椭圆
2a=4
a=2
c=√3
b=1
C:x²/4+y²=1
(2)
l不能与x轴重合,否则AOB不构成三角形
设l:ky=(x+1)
则x=ky-1
与椭圆方程联立
(k²+4)y²-2ky-3=0
由韦达定理得
y1+y2=2k/(k²+4)
y1y2=-3/(k²+4)
(y1-y2)²
=(y1+y2)²-4y1y1
=16(k²+3)/(k²+4)²
=16(k²+3)/[(k²+3)²+2(k²+3)+1]
=16/[(k²+3)+2+1/(k²+3)]
k²+3+1/(k²+3)是对勾函数,在k²+3=1时取最小值
但是由于k²+3≥3
所以(y1-y2)²
=16/[(k²+3)+2+1/(k²+3)]
≤16/[2+3+1/3]
=3
|y1-y2|≤√3
所以当l垂直于x轴时,面积最大,为1*√3/2=√3/2
如仍有疑惑,欢迎追问。 祝:学习进步!
(1)
根据题意C是椭圆
2a=4
a=2
c=√3
b=1
C:x²/4+y²=1
(2)
l不能与x轴重合,否则AOB不构成三角形
设l:ky=(x+1)
则x=ky-1
与椭圆方程联立
(k²+4)y²-2ky-3=0
由韦达定理得
y1+y2=2k/(k²+4)
y1y2=-3/(k²+4)
(y1-y2)²
=(y1+y2)²-4y1y1
=16(k²+3)/(k²+4)²
=16(k²+3)/[(k²+3)²+2(k²+3)+1]
=16/[(k²+3)+2+1/(k²+3)]
k²+3+1/(k²+3)是对勾函数,在k²+3=1时取最小值
但是由于k²+3≥3
所以(y1-y2)²
=16/[(k²+3)+2+1/(k²+3)]
≤16/[2+3+1/3]
=3
|y1-y2|≤√3
所以当l垂直于x轴时,面积最大,为1*√3/2=√3/2
如仍有疑惑,欢迎追问。 祝:学习进步!
追问
辛苦辛苦!感谢感谢!那要是用X做呢??把Y=K(X+1)带进椭圆方程??
追答
这道题用y来做比较好!
因为ΔOAB的面积分成两部分ΔOEA,ΔOEB之后,底边OE=1是确定的,而他们的高就正好是两根y1,y2的绝对值,所以把x消掉绝对是经济适用的方法。
如果非要把y消掉,那么得到x1和x2,最后还是要把它换成y才好计算面积,复杂度大大增加。
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