Question

如图①,已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点坐标为M(2,-3),且经过点A(0,1),直线y=x+1与抛物线交于A和B

1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图②，点P是x轴上的一动点，请探索：
①是否存在点P，使得三角形PAB是直角三角形？若存在，求出所有的点P坐标，若不存在，请说明理由。
②将三角形PAB沿着直线y=x+1翻折得到三角形QAB，若点Q恰好在抛物线上，则此时P点坐标为_______（直接写出答案 ）

Answer 1

解：
（1）
y=a(x-2)²-3
1=4a-3
a=1
y=(x-2)²-3
y=x²-4x+1
(2)
1.
y=x+1
A(0,1)
B(5,6)
若A为直角顶点，P（1,0）
若B为直角顶点，P（11,0）
若P为直角顶点，
P在以（5/2,7/2)为圆心半径为5√2/2的圆上
P（2,0）或P（3,0）
2.
P（x，0）
Q（-1,1+x）
1+x=1+4+1
x=5
P(5,0)

如仍有疑惑，欢迎追问。 祝：学习进步！

追问

• 解题过程不清楚啊

追答

我想你应该是指第二问的第一小问吧。
y=x+1
A(0,1)
B(5,6)
若A为直角顶点，
AP的方程为y=-x+1,令y=0，解出x=1

所以P（1,0）
若B为直角顶点，
BP的方程为y=-x+11,令y=1，解出x=11
所以P（11,0）

若P为直角顶点，
P在以M（5/2,7/2)为圆心半径为5√2/2的圆上
过M做MN垂直x轴于N
N(5/2，0)

在Rt三角形MNP中用勾股定理
NP=√((5√2/2)²-(7/2)²)=1/2
因此OP=5/2±1/2=2或3

P（2,0）或P（3,0）
其余部分若还需详解，请指出具体位置，谢谢！