Question

不等式组(x-y)(x+y-2)≥2,同时1≤x≤4,求x+2y的取值范围

Answer 1

不等式 (x-y)(x+y-2)>=2 应该是 (x-y)(x+y-2)>=0 吧？？？

满足 (x-y)(x+y-2)>=0 及 1<=x<=4 的区域是如图的三角形ABC及内部，其中A（4，4），B（1，1），C（4，-2） ，

作直线 x+2y=0 ，并平移使之过该区域，

可以看出，当直线过 A 时 x+2y=12 达最大，过 C 时 x+2y=0 达最小，

因此 所求取值范围为 [0，12] 。

Answer 2

这个，我不知道是不是对的，大家看看吧

式子(x-y)(x+y-2)=2 化为(x-1)^2-(y-1)^2=2，就是双曲线x^2-y^2=2向右平移一个单位，再向上平移一个单位，其中1<=x<=4,所以取的是双曲线右半边的部分，如图(画挫了点。。)

然后这个双曲线的渐近线斜率是-1,1，即y'的取值范围是(-∞，-1) (1,+∞)，而x+2y=c这个式子的y'=-1/2，所以双曲线对x+2y的最大值和最小值分别取在x=4的两个点上(因为双曲线不存在切线的斜率为-1/2，那么它最下方的点(4,1-√7)即是x+2y最小值,同理得最大值)

所以   6-2√7<=x+2y<=6+2√7