Question

脱离学校多年，请教一个高数题，a=lnx+bx中的x怎么求，a和b均为常数，希望能有解答，谢谢！

不是吧，两位都很辛苦，但是讲的方法我还是没看懂啊也算不出来啊，我的原始想法，a=lnx+bx不就相当于a-bx=lnx，两边微分，得到(a-bx)'=1/x，然后怎么办，就是这个等号左边的微分怎么求，不记得了。谁能解答一下呢？

Answer 1

答：
该方程是超越方程，目前超越方程没有通解，或者说没有定解，只能通过其他方法求解：
1）牛顿迭代法；
设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0））做曲线y = f(x）的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0），求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0），称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1））做曲线y = f(x）的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1）/f'(x1），称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1）=x(n）－f(x(n))/f'(x(n)），称为r的n+1次近似值

2）幂级数法；
原式近似于：a=ln(1+x)+bx，而根据幂级数：
ln(1+x)= x-x^2/2+x^3/3-...(-1)^(k-1)*x^k/k+Rn(x)(|x|<1)

带入原方程后，根据你的精度要求计算
3）图像法；
根据牛逼的软件如：Matlab画图求解，这款软件的使用这里不做介绍，请参考：
http://baike.baidu.com/view/10598.htm

Answer 2

方程化为 lnx=a-bx ，
化为指数式得 x=e^(a-bx) ，
两边边同乘以 b 得 bx= be^(a-bx) ，
再乘以 e^(bx) 得 (bx)*e^(bx)=b*e^a ，
因此 bx=w(be^a) ，
所以 x=1/b*w(be^a) 。这里 w(x) 是郎伯函数。

参见 h t t p : / / z h . w i k i p e d i a . o r g / 郎伯W函数。