Question

高中反三角函数问题

arccosx+arccosy+arccosz=∏,求证x2+y2+z2+2xyz=1

Answer 1

证明：(注：这里用“√(x)”表示根号下x，用“x^2”表示x平方)
设α=arccosx,β=arccosy,γ=arccosz,则
cosα=x,cosβ=y,cosγ=z,sinα=√(1-x^2),sinβ=√(1-y^2)
由题意：α+β+γ=π，所以，γ=π-(α+β)
所以，cosγ=cos[π-（α+β）]=-cos(α+β)=sinαsinβ-cosαcosβ
即z=√(1-x^2)√(1-y^2)-xy
z+xy=√(1-x^2)√(1-y^2)
两边平方得，化简得
x^2+y^2+z^2+2xyz=1