Question

已知函数f（x）=x-alnx，g（x）=-1+a/x，a∈R，（1）若a=1，求函数f（x）极值（2）设函数h（x）=f

已知函数f（x）=x-alnx，g（x）=-1+a/x，a∈R，（1）若a=1，求函数f（x）极值（2）设函数h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的单调区间 （3）若在区间[1，e]（e=2.718...）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围 具体 O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数f（x）的极值；
（Ⅱ）先求出函数h（x）的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；
（Ⅲ）先把f（x0）＜g（x0）成立转化为h（x0）＜0，即函数 h(x)=x+1+a/x-alnx在[1，e]上的最小值小于零；再结合（Ⅱ）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a的取值范围．点评：本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．