Question

观察下列式子:1乘以2乘以3乘以4+1,2乘以3乘以4乘以5+1,3乘以4乘以5乘以6＋1,4乘以5乘以6乘以7＋1……

1 用语言叙述上面四个式子的特点
2 你能猜想出一个怎样的普遍性结论？
3 请说明你猜想的结论的正确性。

Answer 1

解：
1）这四个式子都是连续四个自然数的乘积加上1
2）续四个自然数的乘积加上1，其和是一个完全平方数
3）设有四个自然数 a-1，a，a+1，a+2，那么
(a-1)a(a+1)(a+2) +1
= (a^2-1)(a^2+2a)+1
= a^4 + 2a^3 -a^2 -2a +1
= a^4 +2a^3 -2a^2 + a^2 -2a +1
= a^4 + 2a^2(a-1) + (a-1)^2
= (a^2+a-1)^2
所以，2）的结论是正确的。

Answer 2

连续的4个数的积再加上1是一个数的平方