Question

一道高数题目，谢谢！

Answer 1

用Cauchy积分判别法来判断
1.
∑(n=2,+∞)1/(nlnn)与∫(2,+∞) 1/(xlnx) dx同敛态
考虑
∫(2,+∞) 1/(xlnx) dx
=∫(2,+∞) 1/(lnx) d(lnx)
=ln(lnx) |(2,+∞)
明显趋于无穷，即发散
因此，原级数也发散

2.
∑(n=2,+∞)1/(nln^2n)与∫(2,+∞) 1/(xln^2x) dx同敛态
考虑
∫(2,+∞) 1/(xln^2x) dx
=∫(2,+∞) 1/(lnx)^2 d(lnx)
=-1/(lnx) |(2,+∞)
明显收敛，因此原级数也收敛

有不懂欢迎追问

追问

真谢谢你，懂了，还有个问题请教你，收敛级数加括号后所成的级数仍收敛与原级数的和，其中加括号是什么意思？

追答

就是说，如果已知一个级数是收敛的，那么任意按顺序结合该级数的某些项，结果还是收敛的
用数学符号来表达就是：
设级数∑an收敛
明显，∑an=a1+a2+……+an+a(n+1)+……
那么，对该级数添加括号：
[a1+a2+…+an1]+[a(n1+1)+a(n1+2)+…+an2]+……
再表示为：
b1=[a1+a2+…+an1]
b2=[a(n1+1)+a(n1+2)+…+an2]
……
bk=[a(n(k-1)+1)+a(n(k-1)+2)+…+a(nk)]
……
则，级数∑an按上面方式添加括号后得到级数∑bn
那么，∑bn也收敛

这样说或许还是比较难理解
举一个实例，说明加括号的意思：
级数∑(-1)^(n-1)=1-1+1-1+1-1……
在每两项之间加括号：
∑an=(1-1)+(1-1)+……=0+0+……
除第一项外，在每两项之间加括号：
∑bn=1+(-1+1)+(-1+1)+……=1+0+0+……
当然，加括号并不意味着一定要按规律来加，不按规律任意添加都是可以的