Question

高三数学填空题

(2012江苏卷)已知正数a,b,c满足5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc则b/a的取值范围是
答案[e,7]要过程

Answer 1

追问

其他都好理解，但是为什么y/x的最小值在e^x过原点的切点取到，此时值为e？
哦！理解了！好了谢谢

Answer 2

解：∵4c-a≥b＞0
∴c/a＞1/4，
∵5c-3a≤4c-a，
∴c/a ≤2．
从而b/a≤2×4-1=7，特别当b/a=7时，第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7/2．
又clnb≥a+clnc，
∴0＜a≤clnb/c，从而b/a≥（b/c）/（ lnb/c），设函数f（x）=x/lnx （x＞1），
∵f′（x）=(lnx-1)/ (lnx)² ，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e时，f′（x）=0，
∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值．
∴f（x）min=f（e）=e/lne=e．
等号当且仅当b/c=e，b/a=e成立．代入第一个不等式知：2≤b/a=e≤3，不等式成立，从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．
从而b/a 的取值范围是[e，7]双闭区间．

Answer 3

我自初中开始数学就没及格过。。