Question

已知：关于x的方程ax2-（1-3a）x+2a-1=0 求证(1)a为任何实数是，方程ax²-（1-3a）x+2a-1=0都有实数根

（2）当a≠0时，一元二次方程的两根满足x1x2=2（x1+x2）求a的值。
请写出具体过程

Answer 1

（1）证明：
当a=0时，关于x的方程ax²-（1-3a）x+2a-1=0可化为：-x-1=0，解得：x=-1；
当a≠0时，该方程为一元二次方程，考察：
Δ=(1-3a)²-4a(2a-1)=1-6a+9a²-8a²+4a=a²-2a+1=(a-1)²
对于任意实数a，都有：(a-1)²≥0，即 Δ≥0恒成立，
所以此时原方程都有实数根。
综上得证a为任何实数时，方程ax²-（1-3a）x+2a-1=0都有实数根。
（2）当a≠0时，方程ax²-（1-3a）x+2a-1=0两根满足x1x2=2（x1+x2）
由韦达定理有：x1+x2=(1-3a)/a，x1*x2=(2a-1)/a
则有：(2a-1)/a=2(1-3a)/a
即：2a-1=2-6a
8a=3
解得：a=3/8

Answer 2

1、因为[-（1-3a）]^2-4a(2a-1)=a^2-2a+1=(a-1)^2≥0
所以无论a为和值，方程都有实数根。
2、
因为x1+x2=-(1-3a)/a
x1x2=(2a-1)/a
所以-2(1-3a)/a=(2a-1)/a
解得a=1/4