Question

范德蒙德矩阵

范德蒙德矩阵A，其中x不相同。AC=0，则C=0；所以A非奇异。怎样证明C=0？（还没讲到行列式）

Answer 1

将C按列分块，记为[c1,c2,...,cn]则AC=A[c1,c2,...,c2]=[Ac1,Ac2,.....,Acn] 对于Aci，就是关于ci中元素的线性方程组，A就是系数矩阵，由于A可逆，且Aci=0,所以ci=0(i=1,2,...,n)，所以C=0.

追问

这道题是要证明A非奇异（通过证明AC=0时，C只等于0），且C为列向量。你说的A可逆，是要求的结论。

追答

把线性方程组做初等变换，其实也就是范德蒙德行列式证明的变换方法。

追问

怎样变换啊……如果能把它变为严格三角形，也就证明了，关键是，怎样才能证明是严格三角形？而且证明应该很简单的。

追答

共n行n列用数学归纳法. 当n=2时 范德蒙德行列式D2=x2-x1范德蒙德行列式成立 现假设范德蒙德行列式对n-1阶也成立,对于n阶有: 首先要把Dn降阶,从第n行起用后一行减去前一行的x1倍,然后按第一行进行展开,就有Dn=(x2-x1)(x3-x1)...(xn-x1)Dn-1于是就有Dn=∏ (xi-xj)(其中∏ 表示连乘符号,其下标i,j的取值为m>=i>j>=1),原命题得证

追问

还没学行列式……我从学校图书馆借的书，还没讲到行列式，只讲说①A非奇异②Ax=0只有0解③A与I行等价。相互等价。关于可逆或非奇异，没进行行列式说明。只说若存在B，使AB=BA=I，则A可逆（非奇异）。所以说只能通过证明AX=0的X只能是0解，或者A可化为I来证明。（这两个好像是一样的，只能通过证明可化为I才能证明只有0解。）关键是怎样证明A化为严格三角形（上三角形）时，对角元都不等于0.这么多次方，感觉太乱的，化不明白。

追答

你看看后面范德蒙德行列式的证法嘛。。也就是线性方程组的变换法。

追问

谢谢了。我就是想既然题出在这里，就应该能用现在的方法解答。可能是我之前多项式减法或者其他哪里出了问题才没弄明白。不过我这“满意答案”还是不给你了，虽然很感谢你，不是那道练习题的答案。

Answer 2

"XXX还没学", "XXX还没讲到" 这种理由大多也就是自欺欺人而已, 除非差得很悬殊, 不然自学一下又何妨

当然, 不知道行列式也不是不能证
假定 Ac=0 有非零解c=[c_0,c_1,...,c_{n-1}]^T,

把 Ac 乘开第 k 行就是
c_0+c_1x_k+c_2x_k^2+...+c_{n-1}x_k^{n-1}=0
所以多项式 f(t)=c_0+c_1t+c_2t^2+...+c_{n-1}t^{n-1} 至少有 n 个不同的根 x_1, ..., x_n
但如果 c_k 中最后一个非零项为 c_j 的话 f(t) 是 j 次多项式 (j<n), 最多只有 j 个根 (其实是恰好, 但这样就需要用代数基本定理) , 矛盾

追问

“
把 Ac 乘开第 k 行就是
c_0+c_1x_k+c_2x_k^2+...+c_{n-1}x_k^{n-1}=0
所以多项式 f(t)=c_0+c_1t+c_2t^2+...+c_{n-1}t^{n-1} 至少有 n 个不同的根 x_1, ..., x_n
”
但t的指数最大为n-1，若c不全为0，怎最多n-1个解，所以c全为0.我觉得这样说更明白。你下面的“但如果”我没看懂。
如果你看了“Steven J.Leon的线性代数（第8版），就会知道”XXX没学“是事实。

追答

谁告诉你c_{n-1}一定非零了? 如果允许c_{n-1}=0又凭什么说t的指数最大为n-1?
你觉得更明白并不代表正确.
对于你看不懂的部分, 多读几遍应该就能看懂, 因为目前你已经明白了整个思路.
”XXX没学“是事实, 但同时也只是借口.