Question

多元函数微分学

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Answer 1

这里偏导用D代替：
7）Δz=f(x+Δx，y+Δy)-f(x，y)=dz+D^2f/DxDy*ΔxΔy，
所以Δz-dz=D^2f/DxDy*ΔxΔy，而p=(Δx^2+Δy^2)^1/2，故p~max{Δx，Δy}
所以(Δz-dz)/p=D^2f/DxDy*(ΔxΔy/max{Δx，Δy})(Δx,Δy--->0)=0；
11）由：x+y+z+xyz=0，x=0,y=1 ==>z=-1，Dz/Dx=0；
而：Df/Dx=y(z^2)(e^x)+2y(e^x)zD/Dx=1*1*1+2*1*(-1)*0=1；
13）极值点为（0，0），不可微，（其偏导为x/r和y/r，r=(x^2+y^2)^1/2，在（0，0）点都是没有意义的，是间断点，故不可微）；
19）Df/Dx(0，1)=lim(sin(yΔx^2)/yΔx)/Δx=1；
20）设df=1/(x+y)^2*((x+ay)dx+(ax+y)dy)=(Df/Dx)dx+(Df/Dy)dx；
则：D^2f/DyDx=1/(x+y)^4*(a(x+y)^2-(ax+y))
=D^2f/DxDy=1/(x+y)^4*(a(x+y)^2-(x+ay))
故a=1；
25）同20）做法：
D^2f/DyDx=2axy^2-2ycosx
=D^2f/DxDy=bycosx+6xy^2；
故a=3，b=-2

追问

19题看不懂呀，其他的都看懂了，先谢谢你了

追答

Df/Dx在x=0，y=1处的偏导是lim(f(Δx,y)-f(0,y))/Δx，代入：
f(Δx,y)=sin(yΔx^2)/yΔx，f(0,y)=0；
得到Df/Dx=lim(sin(yΔx^2)/yΔx)/Δx=lim（sin(yΔx^2)/yΔx^2），
而Δx趋于0，由x趋于0时，lim（(sinx)/x）=1，

而yΔx^2趋于0，可得lim（sin(yΔx^2)/yΔx^2）=1；
故Df/Dx（0，1）=1