Question

【求问数学老师】如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD=15，BE=10，sinA=5/13，求⊙O的半径．

*注意：我希望得到老师的回答，网友们不要把答案复制过来，是9.6，事实上，我们班有三种做法，我查了查也有人和我一样有疑问：
“我做OP垂直AB，为什么半径得3120/407，过程思路肯定没错！！！”这种追问，但是没有得到解答。
我怀疑这道题出的有问题，我们班研究得到，CD=15，BE=10，其中，只要一个条件就可以求半径，可是两个条件相悖。

也就是说，我们有三种答案？！而且非9.6的另外两个答案，还找不出方法说它是错的！！希望有专业的老师能够给予我们解答。
【真的好希望能够遇上出题的老师……当时您们出题的时候有没有考虑过这个？】

如果能够认真解答，感激不尽！
嗯，有问题的是第三问，1、2问没有难度。谢谢。

补充资料
一学生：
最后一题，我是这样做的：
延长AO交圆O于点K，连结BK。
则△ABK为直角三角形。∵sinA=5/13
∴设DE=5x，则AE=13x,AD=12x,AO=24x，AK=48x
∵BE=10，∴AB=10+13x。
根据AK=AB×13/12,有48x=（10+13x）×13/12
解得x=130/407
∴AO=24x=3120/407
可是与答案不符。哪里错了？？

另一学生：
第三问我也算的不同：
连接OC，得Rt△COD与Rt△BOC
∵sinA=5/13
∴设OE=5x（DE=5x=OE），AE=13x
∵根据勾股定理
∴AD=12x ∴半径为24x
在Rt△COD和Rt△BOC中，
∵CD=15，DO=12x
OB=24k，CB=CE=15-5x
组成一个方程，结果我算的答案是
半径为 3600/467.
这道题太诡异了。跪求高手解释啊。

Answer 1

（1）连结OB，因为OA=OB，所以∠OAB=∠OBA，而CE=CB，故∠CBE=∠CEB=∠AED，
因此∠OBC=∠OBA+∠CBE=∠OAB+∠AED=90度，故OB⊥BC，因此BC是⊙O的切线。
（2）连结OF，由于CD⊥OA，OD=1/2OA=1/2OF，故cos∠AOF=OD/OA=1/2，所以∠AOF=60度，∠ABF=1/2∠AOF=30度。
（3）过C作CH⊥BE于H，由于CE=CB，故EH=1/2BE=5，且∠ECH=90度-∠CEB=90度-∠AED=∠A。即sin∠ECH=5/13，故CB=CE=13，且DE=2，因此AD=DE÷tan∠A=4.8，故OA=2AD=9.6，即⊙O的半径为9.6
[附：可能让你失望了，我不是数学老师，只是一名数学爱好者；以上也只是我自己的一种个人做法，并为参考任何答案。我正在按你的思路再看看，若是方便的话你能够把你的方法贴出来吗，我想我们可以探讨一下。]

追问

上面有补充资料，是另外两种方法。

追答

你的答案我也算出来了，另外是我找到原因了，这是由于题目条件过多导致的。
假设我们不要CD=15这个条件。。
根据我上面的推导，还可以有CB=CE=13。
设DE=5x，则AD=12x，AE=13x。
故AB=10+13x，OA=2AD=24x。
而OA=OB，故AB=2OAcos∠A；
即10+13x=2×24x×12/13，
解得：x=130/407，
故CD=13+5x=5941/407，与CD=15矛盾！
故此题本来就是一个自相矛盾的题。

Answer 2

又见定向式陷阱思维考题！
根本原因是——如果CD=15，BE=10，sinA=5/13——原本不成立：此时A、E、B三点不共线！
条件相悖、冗余！
PS：我不是老师，鼓励楼主钻研较真！

Answer 3

我研究了一下，这一题条件确实多了，解答时有一个肯定是多余的。看你用哪个条件了，得到三个答案是正常的，因为3个任选2个就可以解出一个解！

追问

对，真的有问题，这可是中考题啊！当时的学生怎么过来的？

Answer 4

分析：（1）连接ob，有圆的半径相等和已知条件证明∠obc=90°即可证明bc是⊙o的切线；
（2）连接of，af，bf，首先证明△oaf是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠abf的度数；
（1）证明：连接ob
∵ob=oa，ce=cb，
∴∠a=∠oba，∠ceb=∠abc
又∵cd⊥oa
∴∠a+∠aed=∠a+∠ceb=90°
∴∠oba+∠abc=90°
∴ob⊥bc
∴bc是⊙o的切线．
请采纳回答！

Answer 5

可不可以说一下你们光拿15算出的方法吗和光拿10算的 还有你是否用了那个角的条件

追问

已经补充

追答

我拿延长那个做的。。 我要是摊上这个中考题是不是就完了 - - 你们有没有人光拿边作的没用角？

追问

摊手】目前研究只有三种方式（光拿着边？我觉得不可能），还是特别诡异的不同答案。【看见是中考题，算出来的答案不是9.6，开始还不相信它有问题，废我一节自习算这道题，唉。反正各种清醒，2012恩施州的真苦逼。

追答

我本来觉得或许是题干有异议 但是又读了一遍 它的c不可能到反方向直线上因为钝角下的两边不可能使得CE=CB 因此
可是拿充分性和必要性来说 你拿1 3 方法的证明没有办法保障他给的第三方条件成立 但是拿3个条件都用的方法却不符合给定圆的环境 因为把9.6代入 得到的那个角sin值不吻合

追问

谢谢你帮助我，已经有人写了证明题设相悖的证明了。但是还是谢谢你！晚安！

追答

你也完全可以把你的9.6的标答代入证明出直径所对圆周角非直角的结论
3个答案你任取一个 代入另第三个条件都是矛盾的 楼上说的很对