Question

设随机变量X的密度函数f(x)=(1/4)x(0<x<2),(-1/4)x+1(2<=x<=4),0其他。已知E(x)=2,P(1<x<3)=3/4,求Y=e^x

设随机变量X的密度函数f(x)=(1/4)x(0<x<2),(-1/4)x+1(2<=x<=4),0其他。已知E(x)=2,P(1<x<3)=3/4,求Y=e^x的数学期望和方差

Answer 1

解：
E（Y）=E（e^X)
=∫（0到2）【xe^x/4】dx
=1/4∫（0到2）【xe^x】dx
=1/4∫（0到2）【x】de^x
=1/4xe^x|（0到2）-1/4∫（0到2）【e^x】dx
=e²/2-1/4(e²-e^0)
=e²/4+1/4
D(Y)可能下一周才学呀，让我看看书先

有公式
D（X）=E（X²）-[E(X)]²
于是
D（Y）=E(Y²)-[E(Y)]²=E{(e^x)²}-[E(Y)]²=E(e^2x)-[E(Y)]²
求E(e^2x)
E(e^2x)=∫（0到2）【xe^2x/4】dx

=1/8∫（0到2）【2xe^2x】dx
=1/8∫（0到2）【x】de^2x
=1/8xe^x|（0到2）-1/8∫（0到2）【e^2x】d2x
=e^4/4-1/8(e^4-e^0)
=e^4/8+1/8
于是
D（Y）=E(e^2x)-[E(Y)]²

=e^4/8+1/8-（e²/4+1/4）²
=（e²-1）²/16

追问

只求0到2的区间没问题么？E(e^x)=∫(-无穷到+无穷）e^x.f(x)dx吧，2到4区间不求么？

追答

E(e^x)=∫（-无穷到+无穷）【e^xf(x)】dx
=∫（-无穷到0）【e^x*f(x)】dx+∫（0到2）【e^x*f(x)】dx+∫（2+无穷）【e^x*f(x)】dx
=∫（-无穷到0）【e^x*0】dx+∫（0到2）【xe^x/4】dx+∫（2+无穷）【e^x*0】dx
=∫（-无穷到0）【0】dx+∫（0到2）【xe^x/4】dx+∫（2+无穷）【0】dx
=0+∫（0到2）【xe^x/4】dx+0
=∫（0到2）【xe^x/4】dx
也就是通常我们只对f(x)不为0的区间积分就可以了
我看我老师也是这样的

还没收作业吧，还赶得及吗

Answer 2

D（Y）=E(e^2x)-[E(Y)]²
=e^4/8+1/8-（e²/4+1/4）²
=（e²-1）²/16