Question

已知f(x)=2cos2x＋2√3sinxcosx＋a(x∈R) (1)若x∈R,求f(x)的单调区间；（2）若x∈［0,π/2］时，

f(x)的最大值为4，求a的值

Answer 1

f(x)=2cos²x+2√3sinxcosx＋a
=cos2x+1+√3sin2x＋a
=2×[(1/2)×cos2x+(√3/2)×sin2x]+a+1
=2sin(2x+π/6)＋(a+1)

（1）
2kπ－π/2≤2x+π/6≤2kπ＋π/2时，f(x)单调递增
解得，kπ－π/3≤x≤kπ＋π/6
2kπ＋π/2≤2x+π/6≤2kπ＋3π/2时，f(x)单调递减
解得，kπ＋π/6≤x≤kπ＋2π/3
所以，f(x)的单调增区间为[kπ－π/3，kπ＋π/6]
单调减区间为[kπ＋π/6，kπ＋2π/3]
（其中，k为整数）

（2）
0≤x≤π/2时
π/6≤2x+π/6≤7π/6
当 2x+π/6＝π/2，
即 x＝π/6时
f(x)有最大值＝2+(a+1)＝3+a
因为f(x)的最大值为4
即，a+3=4
解得，a=1
所以，a的值为1