Question

求高中数学高手进

已知函数fx=lx^2-1l+x^2+kx,若函数fx在区间[0,2]上有两个不同的零点,求k的取值范围

当x在[0, 1]时，f(x)=1-x^2+x^2+kx=1+kx=0, 得至多一个根：x1=-1/k
当x在(1,2]时，f(x)=x^2-1+x^2+kx=2x^2+kx-1=0, 因delta=k^2+8>0, 所以有2根，又因两根积=-1/2,所以一正一负。正根为x2=[-k+√(k^2+8)]/4
由题意，在[0,2]需有2个根，所以须有：
0=<-1/k<=1, 得: k<=-1
f(1)<0, 且f(2)>=0,即 1+k<0, 且7+2k>=0, 得：-3.5=<k<-1
综合得k的范围是[-3.5, -1)

我想问的是，1.f(1)<0, 且f(2)>=0这一步是为何？为什么不限定1<-k/4<2 呢？
2.若当x在(1,2]时，有两个正根怎么办

Answer 1

第一，凡是有参数k的题目，最好先把k=0的情况处理一下。

不然【当x在[0, 1]时，f(x)=1-x^2+x^2+kx=1+kx=0, 得至多一个根：x1=-1/k】就不严谨。

第二，原题目说【函数fx在区间[0,2]上有两个不同的零点,】就是在此区间有两个地方函数值=0，
【x在(1,2]时，有两个正根】的情况完全可能。此时必须【1.判别式大于0；2.抛物线开口向上（已经是向上的啦）；3.对称轴在（1,2）之间；4.f(1)>0且f(2)>0.】

干脆自己静下心来重新顺着情况做做。如图。

Answer 2

1.
f(1)<0, 且f(2)>=0，那么x从1到2的过程中函数图象会穿过x轴，
这样就保证了f在（1,2]上只有一个根。
如果限定1<-k/4<2，相当于只限定了对称轴在（1,2]内，对根没有任何约束作用。
2.
其实就是第一个问题了。
标答中的限制条件f(1)<0, 且f(2)>=0，就可以满足在（1,2]内只有一个根，
如果不清楚可以画一个图象来体会一下，抛物线穿过x轴的过程。
如果是如您所说的限制成1<-k/4<2，那么在（1,2]上可能没有根，可能又1个根，也可能没有根，这才会出现问题！

如仍有疑惑，欢迎追问。 祝：学习进步！

追问

当x在(1,2]时,不是已经证明有一个正根了吗？为何还要限定f(1)=0

追答

限定f(1)=0是为了使得这个正跟落在(1,2]内
如果不限定，那么还有可能落在(0,1),或者(2,+∞)上~

追问

不是已经说当x在(1,2]时了吗，还用考虑落在其他象限吗？

追答

说：当x在(1,2]时，是表示现在讨论的范围，解出来的具体值是否在这个区间里面还是要具体情况具体分析的。比如我就取一个k=1，那么算出来的根[-k+√(k^2+8)]/4=1/2,就不在(1,2]，所以是需要用一些条件把最后的结果限制在我们讨论的范围(1,2]之内才行。

就好比解方程，都算出来解了，很多时候还需要去检验是不是增根。一样的道理。

Answer 3

当x在(1,2]时，f(x)=x^2-1+x^2+kx=2x^2+kx-1=0, 有2根（一正一负），即当x在(1,2]时，f(x)=2x^2+kx-1=0至多有一个根（负根不在(1,2]内）；
所以要使函数f（x）在区间[0,2]上有两个不同的零点，必须f(x)在[0, 1]有一个零点（
即1+kx=0的根-1/k在[0, 1]内）且f(x)=2x^2+kx-1=0的正根在(1,2]内，画图像可知必须f(1)<0, 且f(2)>=0（限定这个根不会小于等于1也不会大于2），且只需
f(1)<0, 且f(2)>=0，此时f(x)=2x^2+kx-1的图像必然在(1,2]内穿出x轴（图像在x小于0穿入x轴），不用考虑对称轴了，除非要求它在(1,2]内有两个根才考虑对称轴。

Answer 4

根据你的解法可知f(x)在[0,1]和(1,2]上各有一个零点.
所以 0<-1/k<0，可得k<-1.
k<-1时，f(x)=kx+1是单调递减的，故f(0)=1>0知f(1)<0，在(1,2)上有零点故f(2)≥0.